几何定值题求解很有趣

张祥梅　华兴恒

当平面图形中的一些几何元素在一定条件下变动时，与变动元素有关的某些几何量的值仍保持不变，求出这些不变的值，这就是几何中的定值问题.求解定值问题常用的基础知识有：（1）同（等）底等（同）高的三角形面积为定值；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧长或弦长为定值；（3）圆幂定理中，若切线长不变，则割线两部分之积为定值；（4）两条对角线为定长的平行四边形的各边平方和为定值；（5）在已知线段的同侧，且对线段两端点所张的角大小不变的各点，在过这线段两端点的同一个圆上.若能巧妙而灵活地利用上述结论求解定值问题，常常会使问题简单获解.下面举例说明，希望能够对同学们有所启迪.

例1如图1，在△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线分别交两腰所在的直线于E、F.求证：DE+DF为定值.

分析由等腰三角形ABC及DF⊥BC于D，可以得当动点D到达BC中点H时，可确定所求值为2AH.

证明过A作AH⊥BC于H，则△BDE∽△CDF∽△BHA，

所以DEAH=BDBH，DFAH=DCBH，所以DE+DFAH=BD+DCBH=2，

所以DE+DF=2AH，而AH为定值，所以DE+DF为定值.

点评几何中的定值问题，有时通过寻找几何图形的特殊位置，进而寻求不变量，这是求解此类问题常用的行之有效的方法.图2

例2如图2，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=.

解析求解本题可采用特殊值法，即当点P与A或D重合时，如图3，PE与PF的和变成△ADC的高DF，即为定值.

图2中，连结PO，作DM⊥AC于M，则S△AOD=S△APO+S△DPO，

所以S△AOD=12AO·PF+12DO·PE.图3

因为在矩形ABCD中，AO=DO，所以S△AOD=12AO·（PE+PF），

而S△AOD=12AO·DM，所以PE+PF=DM.

在Rt△ADC中，AD=12，DC=5，所以AC=52+122=13，

所以DM=AD·DCAC=12×513=6013，即PE+PF=6013.

例3设C为定圆上定弧AB的中点，P为AB上任意一点，且C与P不在直线AB的同侧，求证：PA+PBPC为定……