借助图形建模让规律感知更清晰
——《间隔排列》教学及思考

○王建生

借助图形建模让规律感知更清晰
——《间隔排列》教学及思考

○王建生

●图形是一种重要的数学语言，既是学习的对象，也是学习的工具。“间隔排列”一课运用形象的图形语言，建立抽象的规律模型，为学生今后探索更多规律积累了经验。

数学学习的本质和结果是模型化。学生学习的过程总是循着“具象”操作到半具体、半抽象的“表象”操作，最后达到“抽象”操作的结果。借助图形，建立模型，运用模型进行抽象，可以帮助学生更好地抵近规律的学习本质，更清晰地表达、理解和运用规律。

一、挑战中感受规律，让探索成为自主之需

师：同学们，喜欢小动物吗？今天老师带大家到小兔的家看一看。

师：从图中你看到哪些物体？

生：小兔和蘑菇；木桩和篱笆；夹子和手帕。

师：这三组对应物体的排列都有相同的特点，有怎样的特点呢？

师：我们先来观察小兔与蘑菇，如果这样排列，你能直接看出是蘑菇多还是小兔多吗？

生：不能。

师：如果这样排列呢？

生：容易多了。

师：为什么下面的排列比上面的更容易看出谁多？

生：因为下面的摆法有规律。

师：真有数学的眼光，从数学的角度看，下面的排列比上面的有规律。今天我们就来学习这里的规律。

有没有规律，只有在对比中才能更深切地感受，为了突出“规律”，我们课上首先展示的是没有规律的排列图，再出示有规律的排列图。以哪一种排列能直接看出小兔多还是蘑菇多为切入，通过无与有的对比，放大认知冲突，从而激发自主探索规律的兴趣，加深对规律排列的感知和理解。杜威说：“最好的一种教学，牢牢记住学校教材和现实生活二者相互联系的必要性，使学生养成一种态度，习惯于寻找这两方面的接触点和相互关系。”这句话告诉我们，教学需要在学生直接面对知识的路径教学之外，做出丰富和完善的改进，也就是教学不是直接让学生面对抽象而缺乏生动感、意义感的知识，而是引导学生投身蕴含问题的生活情境，对生活中的问题进行探索，在问题解决中建构新的知识。

二、共建中凸显规律，让表达获得形象诠释

师：刚才我们观察了三组物体，它们都有共同的规律：你能用这里的圆和正方形，或者点和线段把共同的规律摆出来吗？

师：拿出课前发到的信封，用里面的圆片和正方形摆一摆。同桌互相看一看。

师：圆和正方形，谁到屏幕上摆？

（生展示思考结果。）

师：点和线段谁到屏幕上摆？

（生展示思考结果。）

师：我们先来看圆和正方形，屏幕上的摆法能表达刚才的规律吗？

（生没有异议。）

师：除了个数不同外，还有不同的摆法吗？老师在黑板上这样摆，可以吗？

生：可以。

师：屏幕上与黑板上的圆与正方形，个数不同，两端的物体也不同，为什么都可以表示刚才的规律呢？你是怎么判断的？

生：（1）圆与正方形一个间隔着一个，最后一个是圆；（2）每相邻两个圆之间都有一个正方形。

师：圆与正方形跟点和线段根本不同，为什么也可以表示规律呢？

生：（1）点与线段一个间隔着一个，最后一个是点；（2）每相邻两个点之间都有一根线段。

师：看来，不管用什么形式，最主要的是反映出这两条规律。（1）两种物体一个间隔着一个，最后一个与第一个相同；（2）相邻两个第一种物体中间有一个第二种物体。

学生分步观察小兔与蘑菇、木桩和篱笆、夹子和手帕的排列规律后，三组物体整体观察，然后用圆和正方形、点和线段，分别在屏幕和黑板上表示三组物体的共同规律,借助于图形，让规律具体化，形象化，不但突出了规律的结构特征，去掉了无关细节的干扰；同时图形是可以用眼睛看的，使学生利用相对容易的直觉推理；最后，图形可以再现情境或现实，而后者是认识的源泉。

数学抽象事实上是一个模式化的过程。模式化的一个重要特征，就是“去情境化”“去时间化”和“去个性化”。用圆和正方形、点和线段，分别表示三组物体的共同规律，就是用一个模型来概括三组物体排列的共同特点，形成半具体、半抽象的图式模型，为抽象规律的建构提供支撑。从实物图到几何图，再从几何图上升到线段图，这一步步提升的过程就是逐步建模，模型不断简化的过程。学习数学，就是学习如何建模，而模型也是有层次的。在这里，我们从实物图入手，但不止于实物图，在实物图的基础上通过几何图、线段图，形成一定的表象，进一步上升到抽象的言语表达，学生对规律的认识到达触摸本质的深度与高度。

三、运用中深化规律,让内容自然丰满

师：小兔家的三组物体之间都有这样的规律。其实生活中的一一间隔还有第二种情况（出示两端不同的一一间隔模型），比一比，谁能发现老师的摆法跟刚才的摆法之间有什么联系？

生：都是一个隔着一个排列。

师：数学上把这两种情况都叫做一一间隔。

师：又有什么区别呢？表现在数量关系上的区别是——

生：上面是两端一样（两端物体数=中间物体数）；下面是两端不一样（两种物体个数相等）。

间隔在生活中有多种表现形式，本课要学习的是两端不封闭的。两端不封闭的又有两种情况，第一种是两端相同，这是本课学习的主体；第二种是两端不同，这是本课学习的补充。说第二种是补充，是因为第一种只有在与第二种的对比中才能更体现出数量上的差异，学生在解决实际问题时，才更加需要判断推理，所以及时把第二种一一间隔补充完整，让规律进一步深化。

数学思维离不开判断，只有选择的不同，才有判断的必要。在后面实际问题的解决中，首先要判断的是否是一一间隔，是哪一种一一间隔。只有确定好哪一种，才能根据相应的数量关系解决问题，所以，及时把一一间隔知识结构补充完整，正是基于从发展学生思维的角度出发，把知识学习归纳到发展学生数学思维的根目录之下。规律如何使用与什么情况下使用构建成一个完整的知识链，避免了只埋头拉车不抬头看路的规律学习弊端。

四、反思中提升规律,让本质顺势升华

课堂思考：小兔和蘑菇排成一行，如果相邻两只小兔中间有2个蘑菇，那么6只小兔中间一共有多少个蘑菇？

追问：通过做这一题，你对这里的“一个隔着一个排列”是怎么理解的？

点拨：这里的“一”不但可以指“一个”，还可以指“几个组成的一个整体”。

关于拓展题有两种选择，一种是本课学习内容的综合运用，如贴瓷砖，长方形和正方形的瓷砖一一间隔排列，一共有81块瓷砖，问长方形瓷砖有多少块？另一种是本质上的拓展，男、女生一一间隔排列，每相邻两名女生中间站2名男生，问6名女生中间一共占了多少男生？最终我们选择了第二种。因为第二种更能反映一一间隔的本质，帮助学生加深对间隔的点数与段数之间的本质联系。

为了帮助学生更好地领悟这里的“一”，不但指“单个的一”，还可以指“几个组成的一个整体”，从而建构起更有包容性的间隔问题的解题模型，最后我们还是采用了小兔与蘑菇作为素材，主要是为了帮助学生尽可能减少不必要的外部因素干扰，便于问题实质的比较。同样的小兔与蘑菇排成一行，小兔不变，蘑菇由“1个”变成“2个”，带来的是什么没变，什么变了，从而更有利于学生加深对其中模型的理解。