齿轮误差评定仿真模型的建立*

黄腾蛟，朱晓春，丁文政，张兆祥，顾　艳

(1.南京工程学院 a.机械工程系;b.先进数控技术重点建设实验室， 南京　211167;2.山能精密机床有限公司，南京　211167)



齿轮误差评定仿真模型的建立*

黄腾蛟1a，1b，朱晓春1a，1b，丁文政1a，张兆祥2，顾艳1a

(1.南京工程学院 a.机械工程系;b.先进数控技术重点建设实验室， 南京211167;2.山能精密机床有限公司，南京211167)

摘要：随着制造业的飞速发展，仿真加工以其效率高、直观、精度高等特点，越来越体现出它的优势及其重要性，由此建立了齿轮误差评定的仿真模型，将仿真加工灵活地运用到了齿轮加工中。通过分析齿轮的过渡曲线及渐开线的数学模型，建立了齿轮的三维理论模型。同时通过比较传统的齿廓采点方法的优缺点，提出了齿廓采点新方法。在此基础上以VC++为工具，开发了基于OpenGL的齿轮误差评定仿真模型，大大提高了加工效率，使齿轮的加工过程更为直观，为数字化制造奠定了基础。

关键词：仿真加工；误差评定；仿真模型；数字化制造

0引言

随着制造技术与计算机技术的交叉、融合、发展与应用，数字化制造是制造企业与制造系统不断实现数字化的必然趋势。而传统渐开线齿轮的设计方法相对比较复杂，设计周期长，工作量大，效率低，已无法满足当前数字化制造的需求。由此，建立了齿轮误差评定的仿真模型，为仿真加工提供了理论指导，为实现齿轮数字化奠定了基础。

高雪强[1]等建立了非圆节曲线的齿轮仿真加工模型，推导出加工非圆齿轮时，刀具齿廓上任意点的运动轨迹方程，实现了多参数可变情况下非圆齿轮加工过程的动态仿真。丁憾[2]等建立了弧齿锥齿轮仿真加工模型，通过仿真加工获取弧齿锥齿轮的实体模型，避免了以往通过齿面方程求导的大量计算和绘图的繁琐操作。近些年，虽然我国在齿轮的仿真加工领域取得了一定的成绩，但在齿轮误差评定仿真模型的建立方面研究的还不是很多，有待进一步优化、发展，这也是该文研究的一个重点。

本文利用Visual C++实现了基于OpenGL的齿轮三维模型的建立。并在此基础上进行了齿廓采点，传统的采点方式主要有三种[4]，其中等转角间隔采样，其计算量较小，控制较简单，但采样点分布不均匀，越靠近齿顶采样点越稀疏；齿面等间距采样，其采样点选取均匀且合理，不会因为采样点选取方式不合理而遗留掉误差，但其缺点是计算量太大，控制复杂；等径向长度采样，其采样点分布不均匀，但控制和数据处理都比较简单。通过比较它们的优缺点，提出了新的齿廓采点方法，进一步提高了采点精度与效率。最后根据齿廓误差的定义与相应的误差评定算法，对测量结果进行了快速的评定。为后期的误差补偿仿真模型的建立奠定了基础。

1理论模型建立

齿轮的理论模型建立，关键是对正反向渐开线及过渡曲线数学模型的精确计算，然后对数学模型进行离散化处理，最终进行曲线拟合，完成齿轮理论模型的建立。

1.1正反向渐开线模型建立

圆O是以rb为半径的基圆，M为渐开线上任意一点，KM为渐开线上的发生线。由齿轮的基本特性可推出展开角θm:

θm=tanαk-αk

(1)

根据几何关系可推导出正向渐开线的数学模型为：

(2)

图1　正向渐开线原理图

其中j=0,1,2，…，z-1。z为齿轮齿数,βο为基圆齿槽半角,θm为渐开线展开角，rm为M点处的半径,pi为圆周率π。

绘制反向渐开线的原理与正向渐开线类似，只需求取第一段渐开线关于x轴对称的曲线即为反向渐开线。

1.2齿根过渡曲线模型建立

齿轮工作时，齿接触面处受强烈的冲击作用，特别是齿根部分，根据判断齿根部位的应力可直接判断整个齿的强度，由此，渐开线齿轮齿根过渡曲线的设计尤为重要。齿根过渡曲线是由成形刀具尖角形成的轨迹线，从强度方面考虑，此处采用圆角形式的过渡曲线，该种过渡曲线经验证具有较高的强度。

图2　XK1

齿根过渡曲线存在两种极限情况，需先计算出这两种情况下最大过渡圆角半径的理论值。

图3　XK2>YK2

(1)由几何关系可知，当XK1

得最大过渡圆角半径为：

(4)

(2)当XK2>YK2时：

(5)

得最大过渡圆角半径为：

(6)

图4　实际过渡曲线

计算出理论最大圆角半径后，用户可根据需要给出实际齿根过渡曲线圆角半径大小，由实际的过渡圆角半径来建立齿根过渡曲线模型。其示意图如图4所示。

(7)

(8)

圆弧CC′为齿根圆的一部分，其中Δx为微小偏移量：

(9)

2齿廓误差评定原理与方法

进行齿廓误差评定[5-7]时，需在齿面上选取若干点，测出这些点的坐标值并通过计算求出齿廓偏差。传统的采样方式主要有三种：等转角间隔采样，齿面等间隔采样，等径向长度采样。这三种传统的采样方式都存在着不足，针对这些不足，本文提出了一种新的采样方式。

图5　采点示意图

在实际测量中，齿轮分度圆附近的采集点应密集分布，靠近齿顶和齿根部的采集点应稀疏分布，且尽量不在靠近齿顶与正常工作齿面以下部分采点。根据以上原则，本文采用齿面等间距采样与等径向长度采样相结合的采样方式，在分度圆附近使用等间距采样，保证其采样点均匀密集分布，不遗漏掉误差；在靠近齿顶与齿根部位采用等径向长度采样方式，从而提高了效率，使控制更加简单。该方法使得采点更高效，精度更高。其采点示意图如图5所示，其中:

N2-N1=N3-N2=,…,=Nn-Nn-1=ΔN,

M2-M1=M3-M2=,…,=Mn-Mn-1=ΔM

2.1等间距采样建模

由于渐开线曲线是一条变参数函数曲线，所以进行几何建模较为复杂，基于这个原因，提出了通过离散点进行建模的方法,实现了高精度的拟合。

步骤1：见图5，先选定两端点处的坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)。渐开线原理图如图1所示。

(10)

可求出θm展开角，将A,B坐标代入公式得对应的展开角为θa与θb。由此可得到由B到A转过的角度为Δθ=θa-θb。

步骤2：对Δθ进行细分。由用户确定需采集的点数，设需采样点数为q(q为偶数)，则将Δθ细分为7q/2个点，θ1,θ2,θ3,…,θm,θm+1,…,θ7q/2。

(11)

通过此种算法求出q个采样点。

2.2等径向长度采样建模

(12)

2.3计算齿面齿廓误差

获取精确的采点数据后，则可计算齿面的齿廓误差了。如图6所示，K′K即为理论值与实际测量值的偏差，根据齿廓误差的定义，可得被测齿面的齿廓误差Δff为：

Δff=K′Kmax-K′Kmin

(13)

图6　齿廓误差示意图

3仿真模型的实现

图7　齿轮三维模型

根据上述建立的齿轮理论模型，在VC++的环境下，使用OpenGL[8-10]模块实现了齿轮三维模型的构建。验证了数学模型的正确性，为下面的模拟采点，计算齿廓误差奠定了基础。如图7所示,构建了参数为：模数m=8,齿数z=10,分度圆压力角α=20°，齿顶高系数hf=1，顶隙系数c=0.25的三维齿轮模型。

图8　模拟采点图

根据提出的采点新方法，在三维模型上进行了模拟采点仿真，比较清晰的反应了采点轨迹。如图8所示，下图为局部放大图，其中共采了15个样点，第一条虚线表示分度圆分界线，第二条虚线表示基圆分界线，由图可以看出在分度圆周围采用齿面等间距采样方法均匀地采了10个采样点，且分布较为密集；在靠近齿顶与基圆以下非工作齿面未进行采点；其余部分采用等径向长度采样方法进行采样，采样点较为稀疏。经过模拟采点，验证了该方法的可行性。

过实际采集到的K′点作法线与理论渐开线交于K点，经过计算可获得K′K的法向距离。测量数据如表1所示。

表1　测量数据

由测量数据可知:

K′Kmax=0.8924mm,K′Kmin=0.8467mm

得齿廓误差为：

Δff=K′Kmax-K′Kmin=45.7μm

4结论

本文首先建立了齿轮的理论模型，并根据该模型利用OpenGL实现了齿轮三维仿真模型的构建。同时，在此基础上提出了采点新方法，经过模拟仿真与实验表明，该方法与传统方法相比，效率与精度都有所提高。该误差评定仿真模型大大减少了人工的干预，使加工能够在可视化环境下进行，更为的直观，大大提高了加工效率。但该仿真模型仍需进一步完善、开发，最终能够实现动态仿真，满足当前数字化制造的需求。

[参考文献]

[1] 高雪强，葛敬侠. 非圆节曲线的齿轮仿真加工[J]. 工程图学报，2007(6): 157-160.

[2] 丁撼，阿达依.谢尔亚孜旦，王志刚. 弧齿锥齿仿真加工方法的综述[J]. 机械传动，2013,37(9): 154-158.

[3] 冯显英，胡滨，葛荣雨，等. 基于Pro/E的斜齿轮参数化建模及仿真加工[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2006(6):1-5.

[4] 彭浩坤，钱志良，杨全超. 渐开线圆柱齿轮齿廓偏差计算新方法[J]. 苏州大学学报，2011,31(4)：52-55.

[5] 蒋维旭,侯力，张建权，等. 基于UG的曲线齿圆柱齿轮的特征建模[J].组合机床与自动化加工技术， 2010(12):47-49.

[6] 黄富贵，傅师伟，张认成，等. 渐开线圆柱直齿轮误差测量新方法[J]. 工具技术，2004,38(6)：60-62.

[7] 张大厦. 极坐标法测量渐开线齿轮的研究[D]. 天津：天津大学，2010.

[8] 刘媛. 基于OpenGL的渐开线齿轮传动快速虚拟仿真设计[J]. 鲁东大学学报，2014，30(2)：167-171.

[9] 王学东，谭豫之. 基于OpenGL的数控车削加工仿真系统的研究[J]. 组合机床与自动化加工技术，2006(5):49-51.

[10] 杜文辽，陈学文，李安生，等. 基于OpenGL的齿轮传动数字化设计与仿真[J]. 机械传动，2009,33(1)：34-37.

(编辑赵蓉)

Gear Error Evaluation Simulation Model

HUANG Teng-iao1a,1b, ZHU Xiao-chun1a,1b, DING Wen-zheng1a, ZHANG Zhao-xiang2, GU Yan1a

(1a.Department of Mechanical Engineering;b. Key Laboratory Of Advanced Numerical Control Technology, Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167, China ;2.Nanjing Sunny Precision Machine Tool Co.,Ltd., Nanjing 211167, China)

Abstract：With the rapid development of manufacturing, simulation of machining more and more reflect the advantage and importance for its high efficiency, intuitive, precisionhigher characteristic. So establish the simulation model to evaluate the gear error. And the simulation processing is flexibly applied to the gear machining. Through the analysis of transition curve and equation of involute gear, establish the three dimensional theory model of gear. At the same time, through the comparison of advantages and disadvantages of the method of the tooth profile mining point, put forward the new method of tooth profile mining point. On the basis of this, develop the gear error evaluation simulation system based on OpenGL by the VC++. It greatly improves the processing efficiency, and makes the gear maching more intuitive. It lays the foundation for the digital manufacturing.

Key words：machining simulation; error evaluation; simulation model; digital manufacturing

中图分类号：TH132;TG659

文献标识码：A

作者简介：黄腾蛟(1991—)，男，江苏无锡人，南京工程学院硕士研究生，研究方向为先进数控技术，(E-mail)htjiao2011@163.com。

*基金项目：江苏省产学研前瞻性联合研究项目(BY2014009-01)；江苏省高校自然科学研究项目(13KJB460008，14KJA460003)

收稿日期：2015-04-16；修回日期：2015-05-26

文章编号：1001-2265(2016)02-0084-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.024