导数在数列问题中的应用

王焕男　孙文福

摘 要：导数是微分学的核心概念之一。导数作为一个强有力的工具，广泛应用于物理学、几何学、经济学等不同领域。本文仅介绍导数在数列问题中的两点应用。

关键词：导数；应用；数列

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.08.272

0 引言

导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的。但与导数概念直接相关的是以下三类问题：

（1）求变速运动的瞬时速度；

（2）求曲线上某一点处的切线；

（3）求最大值和最小值。

这三类问题在数学上都可以归结为函数的变化率问题；虽然实际意义完全不同，但是从抽象的数量关系来看，其实质都是函数的改变量与自变量的改变量之比，在自变量的改变量趋于零时的极限。我们把这种特定的极限称作函数的导数。

导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个问题。导数在物理学、几何学、经济学中都有着广泛的应用。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（以匀加速直线运动为例，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度、二阶导数是加速度）；可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）；还可以表示经济学中的边际和弹性。下面本文将通过两个实例分别阐述导数在数列求和以及求数列最小（大）项中的两点应用。

1 数列求和

对于数列求和问题，有时用常规方法解决特殊题型是不容易的，我们需要一种新的方法。利用导数这一工具会将繁化简、化难为易。……