运用数学工具提升初中物理思维能力

叶义尧，王瑞槐（.遵义市第十六中学贵州遵义563000；.遵义市教育局贵州遵义563000）



运用数学工具提升初中物理思维能力

叶义尧1，王瑞槐2
（1.遵义市第十六中学贵州遵义563000；2.遵义市教育局贵州遵义563000）

摘要：物理知识的理解、掌握和物理问题的解答，都离不开数学知识的应用。初中物理教学中，运用函数图像、解方程和方程组、比值与比例法、几何知识等，能帮助学生理解物理知识，理顺解题思路，进一步提高解答物理问题的能力。

关键词：数学工具；物理思维能力

在自然科学中，物理是与数学结合得最完美的学科。物理使数学变得具体和真实，而数学使物理变得精确而严谨。大多数物理问题都要研究物理过程存在的量的关系，因此，数学就成为研究和表达物理规律的重要工具。许多物理规律都用一定的数学形式来表达，物理问题也往往要用数学方法来讨论解决。值得注意的是，既然是用数学工具来解决物理问题，那么首先应该分析清楚物理过程和相关条件，以便正确地运用概念和规律，通过计算得出结果，最后还要明确计算结果的物理意义。

初中物理用到的数学工具，主要是小学算术的基本运算，也有中学学到的代数和几何知识等。笔者通过多年的初中物理教学实践，现就数学知识在物理学习中的运用作简单的介绍，以帮助学生掌握有效学习方法，提升物理思维能力。

一、科学记数法与有效数字

1．有效数字

根据误差理论，测量数据要按要求保留一定的有效数字。一个数的有效数字是指该数据在左边第一位不为零的数算起，直到右边最后一位为止，总共包含的数字个数。例如，1.52030有六位有效数字，0.07036有四位有效数字。若要求保留两位有效数字，则第三位有效数字应按“四舍五入”法进行取舍。

2.科学记数法

《打开物理世界的大门》是沪科版初二物理第一章标题，在这一章里，涉及到了物理中的一些大数。为了方便记录，数学上常将很大的数采用科学记数法来表示。所谓科学记数法，就是把一个大于10的数表示成a×10n次幂的形式（其中1≤a<10，n为整数）。当原数大于10时，n值为原数的整数位减1。依据科学记数法，在物理中习惯地把多位数写成只有一位整数的混小数乘10的若干次幂的形式。这样，写时简便，看时明了。例如，光的速度大约是300000000m/s，用科学记数法表示，则为3.0×108m/s。又如，地球的半径为6371Km，用科学记数法表示，则为6.4×106m，等等。

二、函数图像

图像是描述物理过程最直观的数学思想，运用图像思维分析物理问题，是学生学好物理的重要途径之一。初中物理中的函数知识仅限于一次函数。在初中物理课堂教学中，运用一次函数图像，能让学生扩展学习思维，激发学习兴趣，反过来又能促使物理思维得到进一步提高。

例如，同学们在学习匀速直线运动时，常常对路程―时间图像难以理解。在初中物理教学中运用st图像，就可以理解为它与一次函数图像相同，因变量s相当于y，自变量t相当于x，常量v相当于k，因为同学们对数学中的一次函数图像很熟悉，它是经过坐标原点的一条直线，所以将s-t图像应用到数学一次函数图像中去，同学们就不难理解s-t图像是一条直线了。同时，在这样的转换过程中也可以利用数学知识理解物理概念，提高解决物理问题的能力。如此类推，m= v中的m-v图像、U=IR中的U-I图像等等，均可以用此方法进行迁移与拓展。在初中物理课程中运用数学思想解决物理问题，这是新课改要求学生掌握的基本能力之一，它不仅使学生的物理学习有效和灵活，也有利于跨学科人才的培养，在平时教学中，教师应当重视数学思想在解决物理问题中的应用。

三、方程与方程组

纵观物理学与数学的发展历程，它们的发展是彼此渗透、相互促进、相辅相成的。当然，初中物理还谈不到应用高深的数学知识。但数学中的一元一次方程和二元一次方程组还是经常会运用的。在物理课堂中，一些物理规律、定律都表现为一定的函数关系，因此，解方程或方程组就成了我们需要面对的问题。

例1：火车在进入隧道前必须鸣笛。若火车速度为80km/h，声音在空气中的传播速度是340m/s，司机在鸣笛后2秒时听到自隧道口处的山崖反射的回声，则鸣笛时火车到隧道口的距离是多少米？

解析：如图（草图）1所示，设火车在A点鸣笛到隧道口C的距离为S，因为火车从A点鸣笛发出的声音传播到隧道口C再反射回来到B点经过的距离，与火车从A点到B点的距离之和等于2S，所以，建立一元一次方程如下：

声t+火t=2S

由于火=80km/h=（80/3.6）m/s=22m/s，已知t=2s

于是(340 m/s+22m/s)×2 s =2 S

解方程得：S=362m，即鸣笛时火车到隧道口的距离是362m。

图1

例2：若将两个定值电阻R1、R2用某种形式连接起来接入电路，则R1消耗的电功率为12W，若将这两个电阻以另一种形式连接起来，接入原电路，测得该电路的总电流为9A，此时电阻R1消耗的电功率为108W，求电阻R1、R2的阻值各是多少？

解析：根据题意，电源电压不变，设为U。跟据P1=U2/R1，同时因为第一次R1消耗的电功率12W，小于第二次R1消耗的电功率108W，所以，第一次两电阻R1与R2为串联电路，而第二次R1与R2为并联电路，串联电路总电流为I=U/(R1+R2)，于是可得：

根据并联电路干路总电流为9A，由U =IR总可得：

又并联电路电压相等，可得：

由①②③建立三元一次方程组，并联合解方程组得：R1=3，R2=6

四、受力分析图

受力分析既是学习物理的入门基础，又是后续学习的必备工具。能正确画出物理的受力图是求解物理问题时列出方程式的关键，同时还将贯彻于物理学习的始终。初中物理所涉及受力分析，主要是力的示意图，它指用带箭头的线段把力的大小、方向、作用点都表示出来的图。通常受力分析与数量结合，是理解物理知识的有效手段和方法步骤，能提升学生学习物理的识图能力。

例3：如图所示，一个物体始终只受两个力F1和F2的作用，一开始物体处于静止状态，且F1=F0，在t1的时间内保持F1不变，只改变F2的大小，此过程中物体所受合力的方向始终与F1的方向相同。图2中可以表示F2大小随时间变化的图像是（）

图2

解析：一物体只受两个力F1和F2的作用，当物体处于静止状态时，两个力大小相等，方向相反，并且在一条直线上，满足二力平衡条件，故得F1=F2，把物体视为一个质点其受力如图3（a）。由于F1= F0，故F2也必须从F0随时间t发生变化，怎样变化呢？取决于下列条件，在t1的时间内保持F1不变，只改变F2的大小，由于此过程中物体所受合力的方向始终与F1的方向相同,故在改变F2时，一开始只能使F2减小，不能使F2增大，所以，A、D选项错误，应排除。于是只能从B、C中去选正确答案。又由于F2在0～t1时间内，从F0开始减小，但不能减小为0，否则就没有合力而言，如图3（b）。当F2减小到一定值时，F2又可以增大，但不能无限增大。因为要保证合力方向与F1的方向相同，故F2在增大时，不能增大到等于F0，如图3（c）。故图B错误，只有图C正确。

图3

五、比值与比例法

比值与比例是小学数学所涉及的内容，若a/b= c/d，即可得ad=bc。在初中物理中常用比值法定义物理量，如速度=s/t,电阻R=U/I,密度=m/V等等；将自变量的比值直接代入相应公式，可以得因变量的比值；有关连续比例等等。在电学中也可将比值法运用电能表一类问题，它可以帮助学生理解电能表上2500r/kwh的物理含义，也可以快速求解实际功率的消耗问题。

例4：一只电能表表盘标有2500r/kwh，当把它接到电路中开启一盏灯时，表盘在5min内转了300r，问这只灯泡所消耗的实际电功率是多少？电能是多少？

解析：用比值与比例法求解：

因为该电能表表盘标有2500r/kwh，其意义为每消耗1kwh时的电能，表盘要转2500转，当把它接到电路中开启一盏灯时，表盘在5min内转300转，可得出如下结果：

1kwh:2500r=P(5/60):300r

P(5/60)×2500r=1kw·h×300r

P=（300×60）kw /(5×2500)=0.144kw=144w

W=Pt=144w×300s=4.32×104J

答：这只灯泡所消耗的实际电功率是144w，电能是4.32×104J。

六、几何知识

在初中物理课程中，平面几何知识，主要涉及光学内容，即光的折射。当光从一种光疏介质斜射入另一种光密介质中时，所发生的折射情景，如何判断出入射光线、反射光线、法线和界面，都离不开平面几何及平面坐标知识。

图4

如右图4所示：

1.用平面坐标法线和界面垂直知识，将坐标分成四个象限：第一象限M′ON′、第二象限N′OM、第三象限MON、第四象限NO M′.入射光线和折射光线均分布于一、三象限内或二、四象限内，不能分布于一、四象限内和二、三象限内。

2.用平面几何知识、判断反射光线和入射光线分布情况，因反射角等于入射角，因此它们将分布于界面一侧，通过这样的平面几何知识，可以帮助学生正确地理解物理知识，准确地解决物理问题。

七、数学最值问题

通常最值分为最大值和最小值两种，数学中的最值问题有多种，求最值的常用方法有：利用函数值域求最值；利用三角函数的封闭性求最值；利用均值（算术平均值、几何平均值）不等式求最值。在中学物理中，一些物理概念、规律、定理都可能应用到最值的思想、方法。因此，最值问题就成了我们要面对的问题。在初中物理课程中，涉及滑动变阻器的纯电路问题，求解何时电功率为最大，何时电功率为最小等，就是属于此类问题。

例5：如图5所示，电源电压恒为18 V，L上标有“6V 3W”字样，电流表量程为0-0.6A，电压表量程为0-15V，定值电阻R0为20，变阻器R的最大电阻为100。求：在电表的示数不超过量程，灯泡两端的电压不超过额定值的情况下，只闭合S1时，变阻器连入电路的最小电阻为多少；只闭合S2时，电路消耗的最小功率为多少？

解析：若只闭合S1，变阻器R与灯L串联，由于电流表的量程大于灯的额定电流，则电路中最大电流只能等于灯的额定电流。

图5

由于RL=（UL）2/PL=(6V)2/3 W=12

IL= PL/ UL=3W/6V=0.5 A

I=U/(R最小+RL)

R最小=（U/ I）- RL=（18 V/0.5A）-12=24

若只闭合S2，定值电阻R0与滑动变阻器R串联，滑动变阻器R两端电压为15V时，变阻器R连入电路中的电阻最大。

由R0/ R最大=（U-U最大）/ U最大

电路消耗的最小功率P最小=U2（/R0+ R最大）= （18V）2/(20+100)=2.7 W

物理知识的理解、掌握和物理问题的解答，都离不开数学知识的应用。初中物理教学中，运用函数图像、解方程和方程组、比值与比例法、几何知识等知识，能帮助学生理解物理知识，理顺解题思路，进一步提高解答物理问题的能力。新课改中考物理题目的设置，也开始重视考察学生应用数学知识解决物理问题的能力。大多数物理问题的解决，都需要依靠数学知识。因此，学生只要运用好数学工具，并将其与物理的学习紧密结合并灵活运用，就能顺利地学习好物理知识和解决好物理问题。为此，这就要求初中物理教师在平时的教学中，积极引导学生寻找物理与数学之间的联系，努力培养学生运用数学工具的能力，不断形成运用数学知识去解决物理问题的思维，才能在物理学习中获得显著的效果。

参考文献：

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]余文森.新课程物理教与学[M].福州：福建教育出版社，2005.

[3]沈毅，崔允漷.课堂观察[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[4]陈孝普.学校心理学[M].石家庄：河北人民出版社，1991.

（责任编辑：徐国红）

Using Mathematical Tools to Improve the Thinking Ability of Junior High School Students in Physics

YE Yi-yao，WANG Rui-huai
(1. No. 16 High School of Zunyi, Zunyi 563002, China; 2. Education Bureau of Zunyi, Zunyi 563000, China)

Abstract：The mastery of physical knowledge and the solutions to physical problems are closely related to mathematical knowledge. In the presentationof physicsin juniorhighschool,themathematical knowledge such asfunctionalimage,solving equationsandequations, etc. can help students to learn physics.

Key words：mathematical tools; physical thinking ability

作者简介：叶义尧，男，贵州遵义人，遵义市第十六中学物理高级教师。研究方向：中学物理教学改革。

收稿日期：2015-09-23

中图分类号：G633.7

文献标识码：C

文章编号：1009-3583（2016）-0138-04