例谈三次函数问题的求解



例谈三次函数问题的求解

◇四川胡静

由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数又是我们所熟知的一类函数,所以有关三次函数问题已成为近年高考命题的一个热点和亮点.本文拟通过相关问题的求解,揭示三次函数的图象规律,以便从理论上指导学生的解题实践.

1根据函数的图象特征,求解析式

图1

图2　　　　　　　　　　图3

2根据函数的零点特征,求参数的取值范围

A(2,+∞);B(1,+∞);

C(-∞,-2);D(-∞,-1)

图4

图5　　　　　　　图6

3根据函数的极值特征,求满足的条件

①a=-3,b=-3; ②a=-3,b=2;

③a=-3,b>2; ④a=0,b=2; ⑤a=1,b=2.

当a=-3时,因为Δ>0,所以f(x)呈现增减增的形状,且易知2个极值点为x=±1.对于①:因为f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,可得方程f(x)=0仅有1个实根;对于②:因为f(-1)=4>0,f(1)=0,所以可得方程f(x)=0仅有2个实根;对于③:因为f(-1)=2+b>0,f(1)=b-2>0,所以可得方程f(x)=0仅有1个实根.

当a=0或a=1时,因为Δ≤0,所以f(x)的图象在R上递增,显然方程f(x)=0仅有1个实根.

综上,所给条件中使得该三次方程仅有1个实根的条件是①③④⑤.

4根据函数的拐点特征,巧解题

故所求式的值为1 007×2=2 014.

综上,明确一元三次函数的“图象”规律,有利于我们从整体上把握问题本质,从相关规律、特点出发迅速探求解题思路.

(作者单位：四川省彭州市第一中学)