一类(n+1)次多项式系统极限环的存在性与唯一性

曹　明

(陕西学前师范学院 数学系， 陕西 西安　710100)



一类(n+1)次多项式系统极限环的存在性与唯一性

曹明

(陕西学前师范学院 数学系， 陕西 西安710100)

摘要：基于Liapunov级数理论对一类(n+1)次多项式系统在原点的焦点量和极限环问题进行了研究，得到了原点是该系统的焦点或中心的一个充分条件和该系统依赖于参数δ的Hopf分支问题，且分析了当参数满足δma=0时系统极限环的存在性与唯一性.

关键词：多项式系统； Liapunov级数； 分支； 极限环

0引言

在文献[1-3]中，作者提出了相伴系统的概念,并详细研究了二次系统的相伴系统的极限环问题.基于文献[4,5]的启发，本文讨论的是另一类(n+1)次多项式系统

(1)

(方程均为实系数多项式，且bn≠0).

系统(1)是在三次系统(2)

(2)

基础上添加一些实或虚的不变直线y=yi得到的，其中yi是方程φ(y)=1+b1y+b2y2+…+bnyn=0(bn≠0)的根，所以称系统(1)和(2)为一对相伴系统.令方程φ(y)=0的最大负实根为A(若A不存在，则记A=-∞),最小正实根为B(若B不存在，则记B=-∞).

(3)

取新的变换x=x，y=H-1(u)，系统(3)进一步可化为广义Lienard系统(4)

(4)

其中H(A)

1中心和焦点问题

为了详细地研究系统(1)的拓扑结构，首先考察系统(1)对应线性系统

(5)

易知系统(5)有唯一的奇点O(0,0).若给系统(5)附加非线性项lx2+mx2y+ax3和b1xy+b2xy2+…+bnxyn,(bn≠0)，就得到系统(1).应用文献[5]的定理4.7，我们有如下引理:

引理1对于自治微分系统(1)，我们有(Ⅰ)若|δ|≥2，则O(0,0)为结点;(Ⅱ)若0<|δ|<2，则O(0,0)为(粗)焦点.在系统(1)中，当|δ|≥2时O(0,0)为结点，当0<|δ|<2时属于中心焦点判定问题.

引理2对于系统(1),O(0,0)的焦点量是：ω0=δ；若ω0=0，则ω1=a；若ω0=ω1=0，则ω2=ma；若ω0=ω1=ω2=0,则O(0,0)是中心.若ωi>0(<0)，ω0=ω1=ω2=…=ωi-1=0，那么O(0,0)是不稳定(稳定)细焦点(其中ωi是O的第i阶焦点量).

证明:为了获得O的焦点量，我们采用文献[2]和[6]的方法和记号.在系统(4)中令δ=0,F(x),g(x)按幂级数展开如下列形式：

F(x)=lx2+ax3+lmx4+amx5+lm2x6+

ax7+lm3x8+……

f(x)=F′(x)=2lx1+3ax2+4lmx3+5amx4+…

≡a1x+a2x2+a3x3+…+

g(x)=x+mx3+m2x5+m3x7+…+mnx2n+1+…

≡C0x+C1x2+C2x3+…+

g3=2β1,g5=2(-4c1β2+β3),

通过计算可得，g3=2a,g5=2am.由文献[6]定理5知，如果ω0=δ，g3=2β1=2a>0(<0)则O(0,0)是一阶不稳定(稳定)的细焦点；δ=g3=a=0，g5=0，则O(0,0)是中心.记O的第i阶焦点量为ωi，由于系统(1)化为系统(4)时O的稳定性改变了，因此有ω0=δ；若ω0=0，则ω1=a；若ω0=ω1=0，则ω2=ma；若ω0=ω1=ω2=0,则O(0,0)是中心.

如果ωi>0(<0)，ω0=ω1=ω2=…ωi-1=0,

那么O(0,0)是不稳定(稳