磁针磁矩的测量和耦合磁针的实验研究

王思慧，刘振宇，江洪建，周 进

（南京大学物理学院，江苏南京210093）



磁针磁矩的测量和耦合磁针的实验研究

王思慧，刘振宇，江洪建，周 进

（南京大学物理学院，江苏南京210093）

摘 要：第3届全国大学生物理实验竞赛基础实验题包括3部分：测量磁针处局域磁场水平分量的大小，测量磁针的磁矩和转动惯量以及地磁场中耦合磁针的运动研究.介绍竞赛试题的实验内容并给出解答，分析了参赛学生的实验考试结果.

关键词：局域磁场；水平分量；转动惯量；磁矩；耦合振子；耦合磁针

本文介绍的是第3届全国大学生物理实验竞赛基础实验试题、解答及分析.实验包括3部分：测量磁针处局域磁场水平分量的大小，测量磁针的磁矩和转动惯量，以及地磁场中耦合磁针的运动.

试题第一部分采用动力学方法测量磁场，是大学物理实验中的基础性实验内容［1］.题目虽然涉及的是动力学原理，器材和测量却为电磁学范围.第二部分借鉴了扭摆和已知配重测量转动惯量的方法［1－2］，作为基础的实验方法进行考察.第三部分耦合振子的简正模是重要的基础物理概念［3］，演示或定量实验通常需要专门的器材，或者采用模拟方法实现［4］.本题设计了简单的实验装置，不仅能够演示各个简正模及其叠加形成的拍运动，测量各个简正模的频率，而且能够定量测量耦合系数.这部分原理与常见的耦合摆有所不同，因此试题简单介绍了物理背景和现象，再提出观察和研究的任务，可以考察学生理解物理概念、自主实验、探索物理规律的能力.

1 实验试题

悬挂在磁场中磁针的运动方程是

这里θ是磁矩方向与外磁场水平方向之间的夹角，M是磁针的磁矩，I是磁针的转动惯量，B是磁针处的磁感应强度，它由局域磁场（地磁场）水平分量B0和线圈磁场B1叠加而成.当线圈轴线与外磁场水平方向平行时，位于轴线上的磁场水平分量B＝B0＋B1.由此得到磁针摆动周期与磁场的关系：

亥姆霍兹线圈由2个半径均为R、匝数均为N的通电线圈组成，当2个线圈彼此同轴平行而且距离为R时，其圆心连线中点即O点附近的磁场是近似均匀的，其方向由安培定律确定，其大小与线圈半径R、匝数N、通电电流i有关，理论公式为

其中μ0＝4π×10－7H／m是真空磁导率.

1.1 实验器材

直流稳压电源、滑线变阻器、2个相同的磁针（磁铁厚度为4.15mm）、计时器、双向开关、安培表、亥姆霍兹线圈（线圈参量为：N＝500，平均半径R＝10.00cm）、带刻度的支架、塑料尺、配重（质量m＝0.73g）、游标尺.

1.2 实验任务

1.2.1 第一小题：测量磁针处局域磁场水平分量的大小（40分）

1）画出实验连线电路图，使得线圈供电电流的大小和方向都可以改变.

2）如何判断线圈附加磁场与局域磁场是反向还是同向？

3）选取适当的测量范围，测量不同电流下磁针的振动周期.

以1／T2为纵坐标，线圈电流i为横坐标作图，外推计算1／T2为零时的电流，此时的线圈磁场完全抵消轴线方向的外部磁场，由此可以计算局域磁场水平分量的大小.

4）通过作图给出局域磁场水平分量的值.

1.2.2 第二小题：测量磁针的磁矩以及转动惯量（30分）

1）设计实验方案，用以测量磁针的转动惯量以及磁针的磁矩.方案需包含必要的公式.可以用示意图表示装置的安排.（测量方案可以申请提示，提示卡扣10分）

2）测量磁针的转动惯量以及磁矩.

1.2.3 第三小题：地磁场中耦合磁针运动的观察与测量（30分）

在地磁场中放置2枚相同的磁针，并使它们沿着地磁场方向处于1条直线上.当相邻磁针的磁场不可忽略时，它们构成耦合振动系统.由于耦合的存在，磁针的运动形式将更加丰富.

将2个磁针沿着局部磁场的方向共线放置，使它们同相位运动，则磁针共同运动的角频率为ω.将2个磁针沿着局部地磁场的方向共线放置，使它们反相位运动，则磁针共同运动的角频率为ω＊.这2个频率都与单独1个磁针的角频率ω0不同.

1）请比较ω，ω＊以及ω0三者的大小.

当2个磁针由静止释放，其中一个磁针的初始角位移为零，另一个磁针则有非零的初始角位移；此时会发生2种简正模式的叠加，2个磁针的振幅交替增减，能量互补，形成“拍”运动.此时的拍频由2个简正模式的频率之差决定，即

2）改变2个磁针之间的距离L，观察拍频随L的增加如何变化？（回答变大、变小、不变）

3）改变2个磁针之间的距离L，测量ω和ω＊随L的变化情况.

4）确定系数α和β的值.

已知2个磁针之间的耦合系数其中α和β是常量，M是磁矩.由以上实验数据确定系数α和β的值.

2 解答与分析

2.1 测量磁针处局域磁场水平分量的大小

画实验连线电路需要注意直流电源的输出是固定的，需要连接分压电路.亥姆霍兹线圈应串联连接，否则式（2）不成立.注意换向开关的正确连接.

判断线圈与附加磁场是反向还是同向.当附加磁场与局域磁场同向时，磁针摆动频率增加，正向励磁流越大，频率越高.反向时起初频率随电流增加而减小，随后磁针指向翻转，翻转后随电流增加，频率又加快.

图1 1／T2与线圈电流i关系图

第一小题考察学生的基本实验能力和习惯，例如基本的电路设计、连接，换向开关的使用，外磁场与线圈磁场轴线的准直，合理测量范围的判断，有效数字、作图规范，等等.为此，此处没有在实验方法上设置障碍.

表1是50名参赛学生实验成绩的统计结果.第一小题的得分率接近50%.将近一半的学生正确使用了分压电路.只有大约40%的学生正确得出被测量磁场的大小.本小题已经给出了实验思路，仅要求学生根据实验条件恰当地使用电路，判定测量范围，结果却差强人意.反映出学生习惯于按照规定步骤完成实验，应变和判断能力尚有欠缺.

表1 成绩统计结果

2.2 测量磁针的磁矩以及转动惯量

从学生的迁移能力的实际情况出发，这里设置了提示卡.

由式（3）可知，测量磁针的周期T0以及加载配重以后的周期T可以计算出磁针转动惯量.要求多次测量取平均结果.参考值为T／T0＝1.35，I0＝1.6×10－7kg·m2.

本小题得分率28.7%，零分率为28%（14人）.申请提示卡的有14位同学，其中13人被扣分后都有净得分.得分主要来自于测量方案以及测量数据等中间过程，在提示卡的帮助下，多数学生基本上都有思路.但是只有少于20%的学生能够正确地计算配重的转动惯量，极个别学生求出了磁针转动惯量或者磁矩的正确结果，没有1人同时正确地得到转动惯量和磁矩.转动惯量的计算属于比较基础的知识，说明多数学生灵活运用知识的能力有待提高.

2.3 地磁场中耦合磁针运动的观察与测量

作为背景知识，给出沿着外磁场方向平行排列的1对耦合磁针的运动方程.把磁针视为磁偶极子，可以导出该耦合磁针系统的运动方程：

式（4）以及这一部分原理与α和β的数据没有在实验试题中给出.出题者希望学生通过实验观察和测量导出其中的物理规律，从而理解简正模及其叠加运动、耦合系数这些较为抽象的概念.

以下是这一部分的实验解答：

1）由实验现象容易观察到3个频率的大小满足ω＞ω＊＞ω0.

2）减小.拍频随L增加减缓也是很容易观察到的.

3），4）改变磁针之间的距离L，测量同相及反相振动20个周期的时间.实验上为了确定系数α 和β的值，根据

计算每个距离对应的k′.求出ln k′与ln L的值并作图，见图2.根据定义，

拟合方程为y＝－3.21x－3.52，可得β＝3.21，ln（αM2）＝l－3.52.代入前面测量的磁矩M＝0.26A·m2，计算可得α＝0.45mA－1·s－2.

图2 ln k′－ln L关系

第三小题的一些问题设置带有提示性，例如：“请比较ω，ω＊以及ω0三者的大小”，“观察拍频随L的增加如何变化？”等问题.既是为了设置一些容易的内容“送分”，使得难度合理区分，同时也提醒考生关注实验包含的物理现象及规律，而不是机械地完成任务.因为有了“送分”，第三小题的均分达到7.36，只有26%的零分.多数考生能够理解题意，不同程度地观察到了实验现象.在定量测量部分，约1／4的学生得到了部分测量数据，只有个别学生能够正确选择测量范围，正确记录、处理数据，最终完成实验.有2位学生得到了β的正确结果，没有学生给出α的正确结果.除了部分学生因为考试时间紧张、没有合理分配时间等原因，多数学生基本功不够扎实，没有形成规范地记录数据、处理数据等习惯，也缺乏灵活应变、独立处理问题的能力.

注：文章中给出的局域磁场等实验数据为某组实验得到的结果.

3 结束语

本实验综合了力学和电磁学知识，采用简单的组装式器材，紧凑的实验场地，合理地设计实现了物理原理和实验内容的扩展和延伸.通过本实验，不仅能够考察学生的基础知识和基本实验技能，同时引导学生通过观察现象、实验测量探索物理规律，理解一些较为抽象的概念和知识.

参考文献：

［1］ 胡小鹏，高文莉，万春华.大学物理实验（理科）［M］.南京：南京大学出版社，2012：102.

［2］ 朱晔明，王思慧，周进.磁场及磁矩的测量实验［J］.大学物理，2006，25（4）：58－59.

［3］ 梁昆淼，鞠国兴，施毅.力学：理论力学（下）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2009：124.

［4］ 姚盛伟，徐平，Tabuteau.耦合摆特性模拟及振动耦合现象演示［J］.大学物理，2012，31（4）：28－32.

Measuring the magnetic moment of the magnetic needles and study on coupled needles

WANG Si－hui，LIU Zhen－yu，JIANG Hong－jian，ZHOU Jin
（School of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093，China）

Abstract：The fundamental test problems of the third National College Students’Physics Experiment Competition contained three sections：measurement of horizontal component of local magnetic field，measurement of the moment of inertia and magnetic moment of a magnetic needle，coupled oscillations of a pair of magnetic needles.This paper introduces the contents of the competition problem，then the solution，and gives the analysis on the performances of the contestants.

Key words：local magnetic field；horizontal component；moment of inertia；magnetic moment；coupled oscillators；coupled magnetic needle

作者简介：王思慧（1964－），女，北京人，南京大学物理学院教授，博士，从事基础物理理论与实验教学.

收稿日期：2016－01－11

中图分类号：O441

文献标识码：A

文章编号：1005－4642（2016）03－0019－05

［责任编辑：任德香］