逆向思维在解数学高考题中的应用研究

王婷

【摘 要】“逆向思维”不仅是一种数学思想，还是一种能够寻找到解题突破点的重要方法。很多利用传统解题方法无法寻找到突破点、或招致极大的计算量时，逆向思维则可以化繁为简、化难为易。鉴于此，本文以“逆向思维在解数学高考题中的应用”为主要研究对象，分别从三个角度对这一问题进行了讨论。本文研究的目的在于，能够结合历年高考数学试题当中的代表性题目，针对近年来高考重点考察的“逆向思维”问题进行简单的归纳和总结，望能对广大身处高三的师生给予一定的帮助和借鉴。

【关键词】逆向思维；高中数学教学；高考试题

近年的高考试卷当中常常出现这样一类题目：其按照传统的、按部就班的思路虽然能够解题，但过程即为麻烦、计算量过多，在争分夺秒的高考考场上极为浪费时间；还有一类题，按照传统的解题思路根本无法寻找到突破点、以至于让考生陷入解题的困局之中，一时迷失方向。事实上在解题过程中，当学生遭遇上述两种情况时，不妨采用“逆向思维”的方法，正所谓“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”。

一、反证应用

从解题的思维过程来说，高考中的任何数学题目，都是命题者主观性设置方法寻求障碍的存在。所以同一道题目，当学生由已知出发，以“碰撞”的形式寻找解题方法、探索答案时，往往会发现由固定条件所引申出的众多“岔路”，甚至于将已知的内容推断得越来越复杂，离所求相隔越来越远。那么当遇到这样一种情况时，学生不妨从“解题要求”入手，以问题为突破口，通过挖掘解题所需要的已知条件，来方向探寻所需的“可知”。

以2016年高考数学I卷（理科）第22题第（1）问为例：

如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆。

（I）证明：直线AB与O相切；

根据证明要求，要想得出直线AB与O相切的结论，即需要证明圆心O到直线AB的距离等于圆的半径。在知ABC本身是等腰三角形的情况下，可以判断圆心到直线AB距离所需要的垂点即AB的中点，同时也是三角形ABC的高。另外鉴于30°角本身所具有的边长特殊性（直角三角形，30°角所对的边长度等于斜边的一半），再根据题目已知“OA为半径作圆”，即可以得出点O到直线AB的距离，等于OA的一半，也就是等于圆的半径，那么即可得出圆与直线相切的结论。

很显然这道题目求解的关键就在于，如何根据既定的求证结论，反向推断出“圆心到直线的距离等于半径”的间接性结果。事实上，很多几何类证明题都可以采取这样一种逆向反证的方式来推导求解。

二、公式反用

高中数学教学过程中涉及到各式各样的公式，但高考当中对数学公式的考察，并不会如同其他文史类学科对基本概念的考察一般，要求默记或书写，而是融汇在多样化的题型当中，进行综合化的考核。这其中较为常见的既有最为基本的直接带入式的考察，也有公式逆推、逆用的考察。相对于前者，后者对学生共识灵活运用的考察更为全面和具体，也更具有难度。比如以这样一道题目：

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且 。求证：sinAsinB

=sinC。（2016年四川省高考数学理科第17题，第一问）

很明显在这道题目中，已知条件是一组结合了边角关系的等式，而高中阶段已经学习过的涉及到边角关系的等式中最为常用的就是 ，那么根据这则关系就可以将题目当中已知的关系式置换成 ，整理可得： 。

等式左面有 ，根据 = ，等式可以继续整理成 ，去分母得 。

这时，我们观察等式的右边，已经与求证等式的一侧相同，而等式的左边明显是 的公式逆用，即 ，同时根据同一三角形当中 ，即刻得出求证的结论。

纵观整道题目的求解过程，可以看到期间多出运用到三角函数公式，包括对其基本公式的正用和逆用，这要求学生在求解题目时必须将所有的公式都能做到烂熟于心、信手拈来。很多学生在面对高考试题时，其惯性思维会导致其对公式的记忆和使用方式，维持在最为基本的形态上，以至于在解题过程中直接出现公式的右半部分时，一时难以将其与公式的本来形态相关联。同时，就这道题目本身而言，求证部分的“ ”也是一极为有效的题目信息，其可以推断出这道题目将用到边角关系公式来的结论。在三角函数中，边与角的关系，最为直接的一组公式就是通过 = = 来体现的，以此为突破口，也可以探索出解题的线索和思路。

三、逆用定理

很多学生在高考数学题目求解的过程中，在遇到一道全新的题目时，会习惯性的选择与题目所涉及范围内的各类公式，却不自觉的忘记与之相关的最为基本的概念。比如双曲线题目求解离心率时，会第一时间想到e= 的公式，一旦陷入求解c和a的瓶颈中时，这道题目就变成了短期内无法攻克的难题。但事实上，在实际高考有关此部分的题目考察中，还会应用到根据双曲线定义来求解的可能性，以这样一道题目为例：

已知点F1、F2是双曲线 （a>0，b>0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，其中MF1边的中点恰在双曲线上，求该条双曲线的离心率。

这道题目的求解关键就在于对双曲线的概念以及离心率计算公式的应用。首先，双曲线离心率公式e= ，只要求解除这条双曲线中c和a的值就能达到求解的目的，但是这道题目中的正三角形是一个非常有效的条件，假设P点就是MF1的中点，便说明了PF2和PF1的垂直关系，那么在直角三角形当中，直角、60度角的同时出现，即意味着PF1等于F1F2的一半，即等于c，根据边角关系，既可以得出三角形PF1F2利用c所表示的边长：

PF1= F1F2= .2c=c

PF2= PF1= c

这个时候，我们不妨将目光回归到双曲线概念的本身——到两个定点距离之差等于常数的点的轨迹。换言之双曲线上的点必然满足到两大焦点之间的距离等于2a。

那么很显然，这道题目当中有一非常明显的暗示条件，点P在双曲线上，即意味着P点到F1和点F2的距离是相等的，等于2a，即|PF2|-|PF1|=2a，鉴于此前已经利用了题目中的已知条件，将PF1和PF2的长度置换成了用c表示，所以|PF2|-|PF1|= c-c=2a

c-c=2a

根据离心率求解公式e= ， = =e

总而言之，逆向思维在高考数学解题中应用十分广泛。近年来高考命题对学生此方面能力的考察频率也在逐年上升，鉴于此，高中数学教师在日常教学过程中应注重对学生此方面能力的培养，除却本文中笔者所提到的几种案例之外，还可以采用逆向替代法、逆向验证法以及逆向判定等方式来进行演算和推论，这将有助于进一步提升学生的数学知识综合应用能力。

参考文献：

[1]张秀丽.浅谈逆向思维在数学解题中的运用[J].试题与研究：新课程论坛，2012（27）：65.

[2]傅世球.教材原型题与近年高考题[J].数学教学研究，2016，35（01）：33-36.

[3]潘政显.逆向思维在高中数学解题中的应用分析[J].数学学习与研究：教研版，2013（07）：90.