解析高中数学中的基本函数

彭勇

【摘    要】基本初等函数，是高中学习的主要内容之一，同时，也是高中学习的重点之一。基本初等函数包括：指数函数、对数函数、幂函数，三大函数之间的联系与区别便是学生要掌握的要点。数学老师在函数的教学计划中都分配了较多的课时，诚然，函数的学习是数学的重点，那么解析基本初等函数就能在一定程度上帮助学生更加深入的理解数学理论。

【关键词】高中数学  基本初等函数  解析  考点  理论

中图分类号：G4    文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.03.084

函数是高中阶段数学学习的重点内容之一，其运算的复杂性让很多学生难以掌握，对学生的全面发展造成了一定的影响。在此，我将结合自身的教学经验对高中的基本函数进行相关的解析，希望对大家有所帮助。

一、初等函数的学习要求

1.能进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此的基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应的关系，刻画函数概念中的作用。此外，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域。同时，了解与学习函数时，也要了解映射的概念，这样触类旁通式的学习，才能让数学的教学变得更加简捷。

2.学生能在实际情景中，根据不同的需要选择恰当的方法。例如，图像法、列表法、解析法等表示函数，会求解函数的基本表达式，以及表达式中参数所表示的意义。

3.了解简单的分段函数的定义、形式、结构，并且能根据已经了解到的知识，进行具体的实际操作。

4.能够通过已经学习过的函数，特别是像二次函数，理解函数的单调性、最大值、最小值以及它们的几何意义，还能结合具体函数，了解奇偶性的含义。

5.学会运用函数图像理解和研究函数的性质。函数既是解决问题的方法，同时，也是解决问题的手段，面对不同的问题，会有不一样的方法来解决。一般能用函数解决的问题，都会是用函数来解决，不仅因为函数的直观可见，而且函数能形象地将问题反映在一张图表上。读者想要的答案，就在图表隐藏的位置，只要稍微地动动脑筋，答案便就出来了。诚然，函数的学习是重要的。教师培养学生看图、读图、解图“三步走”的能力，同时，也是培养学生转换思维的能力。

二、指数函数

指数函数是数学中重要的函数之一。它的一般的形式为：y=a^x（a>0且a≠1）（x∈R）。此外，还会应用到e上的这个函数写为exp（x），还可以等价写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，称为欧拉数。下面是指数函数的图像：

对于初等函数中指数函数的学习，特别要掌握指数函数的图形，以及它的基本表达式的写法，因为，指数函数的图像是属于比较复杂的一类。由上图可知：它的图像关于y轴对称，不同a的大小，图形曲线的表达形式也不一样。需要分类讨论即：

1.由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a）。在y轴的右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

2.由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于（-1，1＼a）。在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

3.指数函数的a一定是大于零，当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于0的时候y等于1。

当然，指数函数只是一种解决问题的方法或者称为手段，归为本质的便是：回归课本，解决课本中的问题，卷子的试题，解决在实际生活中遇到的数学问题。最主要的还是，学生自身对知识的不断积累与拓展，最终使得自己在同一学习环境中出类拔萃，同时在高考中出类拔萃，斩获高分。

对此，了解指数函数的实际应用能帮助学生更好地学习函数的具体应用，在教师的教学中，学生也能配合教师的教学计划，将课堂更好地利用。指数函数的实际应用是非常广泛的。例如，细胞的分裂、考古中所用的c的衰减、药物在人体内残留量的变化等。具体的问题具体分析，对于不同的实际问题，学生要学会归纳与总结，将同一类的问题归一为一个具体的模型，以便以后再遇到此问题时，能很快速地解决问题。

三、对数函数

一般如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N（N>0），那么数b就叫做以a为底N的对数。记作logaN=b。对数函数的图像为：

对数函数的实际应用没有指数函数那么多，相反的，对数函数的题型更多的是，掌握对数函数的性质的应用，会利用对数函数的性质，解决变形的题目，达到逻辑思维的高度训练;不断锻炼学生自己缜密的解题思路，从而做到细节完美化。

对于对数函数的性质，是高中函数教学计划中必须掌握的内容。对数函数最多的题型是：利用其性质转换题型，然后解题。诚然，性质的学习、理解、掌握是第一步，根据对数函数的运算性质，可以很快速地得出两个函数值之间的大小关系。如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）如果底数一样，真数越大，函数值越小。（0

当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：

（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）;

（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）;

（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M） （n∈R）.

四、幂函数

幂函数的基本形式为：y=x^a（a为常数），即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。幂函数与指数函数，不外乎就是将底数与指数进行转换，因此，指数函数与幂函数的联系最为密切，通过指数函数的图像，可以类比推出幂函数的图像。对于每一个函数的学习，图像是能直观与形象地展示函数性质的最好的表达形式之一，诚然，图像的学习也是在教学大纲中，被教师经常提及的。以下便是幂函数的图像：

对于幂函数，教师较为注重的是：幂函数的常数a，因为不同的a对应的函数的图形存在差异，因此，幂函数的图像是三个初等函数中，最为复杂的一个。同时，幂函数的应用最多的也是不同a值所对应的图形，然后利用图形解决变换问题。

五、三者之间的解析

对于高中数学的学习，不仅是难度的加深，深度的变广，范围的扩大，更是一种思维的训练。像数学中的集合、空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系、圆与方程等等知识的范围越来越多。学习的难度越来越深，对于函数的学习，也是如此。正确把握函数之间的关系与逻辑思维，掌握解题的思路与技巧，函数之间的联系与区别，将函数的模型运用到实际的生活问题当中来，无论是指数函数、对数函数还是幂函数，它们的运用价值都是极其大。

将指数函数、对数函数、幂函数的图像，进行分析、对比然后总结出各个图像之间存在的差异，以及它们之间的联系，会从它们基本的形式结构、函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、凹凸性等不同的指标，正确分析每一个函数的特点，然后能准确掌握，并运用。

近幾年，随着课改脚步的推进，数学的学习越发变得紧张。高中面临的问题，毕竟是高考，所以教师需要在了解改革体制的同时，加强教育教学模式，不断进取、不断创新、不断开拓，为学生的学习提供更加优秀的教学计划。