分类讨论思想在高考数学综合题中的应用研究

姬梁飞

摘 要 本文采用纵横比较分析方法，展示了各个省市高考数学试卷中蕴含有分类思想这类综合题的整体分布情况。探究分类讨论思想在高考数学综合题中的应用规律以及思路，并对高中数学教学给出了一些有益的建议。

关键词 分类讨论 思想方法 高考数学 综合题

中图分类号：G633.66 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0045-03

美籍数学家波利亚曾认为，“数学的解题能力是一种很好的培养人的数学思维的途径。”作为担负我国选拔人才平台中最主要方式的高考，自1978年开始恢复高考至今，她已经走过了36个春秋。研究高考的命题规律对探索国家人才培养策略以及改进高中数学教学都有着重大的现实意义。数学家克莱因先生曾说过：“数学它是一种精神，一种理性的精神，然而正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，它试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；它试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”数学精神主要有数学求真精神、数学理性精神、数学创新精神、数学独立思考精神等，数学思想正体现着数学精神，它包涵大胆而智巧的想象、丰富而奇特的直觉、奥妙而严谨的构思，缜密而严肃的推理，它结合具体的数学方法一起构成了数学的思维特质。作为数学基本思想方法之一的分类讨论思想方法，它不仅是数学思想的重要组成部分，而且还是一种逻辑性的解题方法。与此同时，高考数学试题中的综合题历年来都是高考命题中的最后堡垒，它也是每年高考时段广大师生谈论最多的焦点题目，故此，分类讨论思想方法在高考数学综合题中扮演一个重要的角色，又担负着培育新时代人才的职责与使命。

一、纵向比较分析

本研究通过纵向比较，分析了北京市2003年至2014年、上海市2010年至2014年、广东省2007年至2014年以及新课程标准卷2007年至2014年等共34套高考数学试卷的综合题情况。现将这34套高考数学卷中蕴含有分类讨论思想方法的综合题目所考查的知识点情况分别列表如下：

【结果分析】 通过对这些试卷所涉及的考点进行调查研究分析，分类讨论思想方法在历年来的各省市的数学试卷中都有所体现，主要渗透于圆锥曲线、不等式证明、函数性质、综合数列、实际问题、新定义探索等板块知识应用过程中，尤其在综合研究函数的性质特征与圆锥曲线方面的应用最为明显。

二、横向比较分析

本研究通过横向比较，分析了2013年全国各省市高考数学16套试卷以及2014年全国各省市高考数学15套试卷所涉及分类讨论思想方法应用的综合题分布情况，这些综合题的解答过程基本上都需要应用分类讨论思想方法才能完成题目。按照分类讨论思想方法在高中数学各个知识点中的应用情况，现在将这些蕴含分类讨论思想方法的综合题目所考查的知识情况分别展示如下：

2013年全国各省市高考数学涉及分类讨论思想方法运用的综合题分布情况

【统计分析】 统计结果表明，在2013年与2014年全国10多种不同的高考数学卷的综合题中，每一套数学试卷中至少有一道题目考查了分类思想方法的运用，甚至某些省份高考数学试卷中有多达到三道综合题目都涉及分类讨论思想方法的应用。一方面，这些综合题目多集中于整套试卷的尾部，难度一般都处于中档以上，这类试题也通常作为整套数学试卷中区分度最高的试题，因此这类试题无疑成了历年高考数学试卷压轴部分的常备主力军。另一方面，这些数据表明了分类讨论思想方法渗透的知识点多集中于不等式证明、综合数列、圆锥曲线以及函数性质研究，尤其在考查函数综合性质特征等方面运算量之多、思维力度之深、讨论范围之宽都往往是其它题目无法比拟的，同时对于高考这样一个大型选拔性考试，它几乎是每年高考数学都要必考的一个项目。

三、结束语

分类讨论思想方法是中学数学基本思想方法的重要组成部分，在中学数学教学中占据着不同寻常的地位，在教材中也能够随处见到分类思想的各种运用。它不仅是数学教学中的重点、难点，也是多年来高考数学中常考、必考的内容。它不仅是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。近年来，在全国各省市高考数学试卷中渗透有分类讨论思想方法的试题也是逐渐增多，尤其体现在分类讨论思想方法在高考数学综合题中考查与应用。这些综合题一般都是命题者精心设计、构思巧妙的好题，其试题往往新颖独特，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生综合理解能力、自学能力等方面都提出了更高的要求。分类讨论思想方法为高考数学提供了思维的练兵场，成为考查学生处理复杂问题能力的试金石。最主要的是高考题要考查学生处理复杂多变问题、解决现实模型等综合能力，这就需要有一个比较公平同时又具有区分度的载体，与此同时分类讨论思想方法正是提高学生数学素养的一个重要法宝，也是考查学生对未来数学学习潜能的一个良好途径。

因此，一方面如何引导学生观察、发现引起分类讨论的原因，如何通过分析、学会化整为零、各个击破，恰如其分地正确运用分类思想，这将是每一个高中数学教师都需要面临的一个重要问题。数学教师需要通过多角度的案例教学进行培养学生这方面的能力与素质，这也是数学教育势在必行的一项任务。教师可以从理论与实践两方面加强对学生这方面能力的培养与提升。教师也可以从身边教学实践出发，结合教学经验或教学智慧，找到培养与渗透分类思想方法的一些办法。另一方面，分类讨论思想方法对培养学生思维的条理性与缜密性，在提高学生全面分析与解决问题能力等方面都起到了十分关键的作用。所以，在高考数学综合题中渗透的分类讨论思想方法是考试中培养学生的严谨精神，开辟出能够增长学生科学、合理解决问题本领的一条有效途径。然而，通过调查发现，许多学生对这一种思想方法的掌握情况并不乐观，甚至有些学生对分类讨论思想方法抱有一种恐惧的心理。正因如此，在新课程改革的背景下大力改进分类讨论思想方法的相关教学更有着密切的现实意义。

高考数学综合题是试卷的精华部分，这些题目命制的宗旨也是为了国家选拔优秀人才的需要。高考数学综合题在命制过程中往往蕴含着深刻的数学思维方法，而且试题本身也往往具有一定的深刻性与迷惑性。它是区分学生解题思维能力水平、保证高考试题区分度的一个重要体现。因此，高考数学综合题里面蕴含着许多分类讨论思想方法，其在解答试题的过程中常常是精深奥妙的，试题命制技巧也是匠心独具。无论是这些分类讨论思想方法的具体应用，还是试题本身的解题技巧都值得教师深入的研究。故此，本文建议教师认真领会分类讨论思想方法以及在综合题中命制思想与技巧，或者通过逆向工程法剖析高考专家组精心命制的试题，从中领悟那些试题背后隐藏的深意，以期改进自身的教学。

参考文献：

[1]（美）G·波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007，（05）：25-28.

[2]（美）莫里斯.克莱因，张祖贵等译.西方文化中的数学[M].上海：复旦大学出版社，2005：98-99.

[3]基础教育课程改革纲要[EB/OL].（2001_6—8） [2011—6—5].http：//baike.baidu.com/view/1265891.htm#1.

（责任编辑 楚云鹏）