元认知理论下初中数学解题常见错误探究

姜春华　许晖

摘要：元认知理论对数学解题至关重要，它可以大大提高解题效率和准确性。在元认知理论下对初中生数学解题中常见的错误进行分析，将有利于提高学生的解题能力、思维能力和数学素养，也会大大减少学生因各种原因造成的各种错误。

本论文从元认知理论这一角度对学生在数学解题中产生的错误进行研究，从而提出一些合理化建议和策略，希望能有效地指导今后的教学。

关键词：数学解题常见错误；元认知理论；成因；策略

中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）16-0181-02

一、引言

元认知理论由弗拉维尔于20世纪70年代提出，元认知就是个体关于自己的认知过程的知识和调节的能力。元认知一般包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三部分。元认知知识主要包括个体对自己或他人的认知活动的过程等方面的知识；元认知体验指伴随认知活动而产生的认知体验和情感体验；元认知监控指认知主体在认知过程中，以自己的认知活动为对象，进行自觉的监督、控制和调节。

新课程理念强调学生的主体性，注重培养学生的问题意识和创新精神，引导学生进行探究学习，并帮助学生学会学习，这也是元认知核心功能的体现。研究表明，学生错误解题的种种表现和他们的元认知水平密切相连，探讨两者的联系对减少数学解题错误具有积极地现实意义。

二、初中生数学解题中常见错误的类型和案例

1.数学知识的错误。

（1）知识的错误是指对概念、性质等认识不清导致的错误，对公式、定理、法则的错误使用等。

（2）案例：判断 是分式还是整式？

错解：因为 含有字母π，所以 是分式。

产生错解的原因是对分式的概念认识不到位。要判断所给的式子是否是分式，主要是看分母中是否含有字母。分式的定义为：一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。所以本题正确的答案是： 不是分式，而是整式。

2.数学逻辑的错误。

（1）逻辑的错误主要是指数学推理不严密，推理思路不明，特别是对几何证明说理往往只作表面思考，说理过程不规范。

（2）案例：反比例函数图像经过点（1，-4），那么这个反比例函数图像在第 象限。错解：因为点（1，-4）在第四象限，所以该图像在第四象限，填“四”。错解忽视了反比例函数图像有两个分支，缺乏逻辑上的严密，导致整个题目的错误解答，应填“二，四”。

3.解题心理的错误。

（1）解题心理的错误主要是指缺乏克服困难的意志和信心，缺少钻研的精神，盲目解题，从而导致解题出错的现象。我们知道数学解题除了需要学生具备扎实的基础知识、基本技能和良好的数学思维外，还需要具有良好的心理素质，否则即使知识技能掌握得不错，也可能因为心理原因而产生错误。

（2）案例：等腰三角形的一个角是80°，它的另两个角是多少度？此题应分两种情况：一是顶角是80°，二是底角是80°。有的学生在做此题时，往往丢掉其中一种情况，而导致做题错误。

4.解题态度的错误。

（1）解题态度的错误是指缺乏认真解题的态度，许多学生经过一段时间的努力，自以为成绩不错，可结果却不如人意，有时就是不认真造成的。

（2）案例：计算（X-6）（X-3）时，有的学生计算出X2+9X+18的结果。这个题目，应该说很简单，但因为学生的不认真，得出了错误的结果，很是可惜。

5.解题习惯的错误。有些学生看到题目马上解答，不把题目要求看仔细，导致错误产生。

案例：学生在解含有分母的方程时往往会出现如下错误：①漏乘；②去括号时符号出错；③去分母时忘记加括号。

6.解题方法的错误。解题方法的错误是指错误的使用定理、结论、方法等，以至于得出错误的结论。

案例：学生在证明三角形全等的时候，常常因错误的使用全等三角形的判定定理而导致证明错误。

三、元认知理论上的错误成因分析

1.元认知知识上的体現。①对数学学习缺乏自信心。自信心作为一种人格品质，是非智力因素的重要组成部分，它对激发人的意志力、充分发挥人的潜能，进而取得人生的成功有重大作用。调查结果显示，只有不到一半的学生认为自己有解决数学问题的能力，访谈后也表明，多数学生对数学学习缺乏信心，不能正确的解题。②使用解题策略不正确。解题策略是指一系列解题方法和解题思路的总称。缺乏解题策略是学生不能正确解题的重要原因。初中常用的解题策略方法主要有：换元法、消元法、待定系数法、图形结合法、判别式法、分析与综合法、归纳法等。

2.在教学中增加学生的元认知体验。①增加成功的体验。如果学生在学习中经历失败较多，尝试成功的喜悦较少，就会对学习失去信心。教学中，教师要增加学生成功的体验，为学生提供成功的机会，调动学生学习的积极性。②加强情感的交流。教学中，教师往往会有意无意的对成绩好一些的学生投入更多的关注，却忽视了那些学习稍差一些的学生的情感需要，如果我们能更多的关注他们，让他们在学习中感受更多的信任和期待，那么学生在数学学习中就会无形的增添更多的信心，减少错误的发生，从而提高数学成绩，感受到学习的乐趣。

四、基于元认知理论的减少学生解题错误的教学建议

1.帮助学生了解元认知的知识。初中学生绝大部分从未接触过“元认知”这一概念，更不知道“元认知”在数学学习中所起的作用，因此，教师有必要帮助学生了解有关元认知的知识，以便学生运用它来指导自己的学习。

2.培养学生自我反思的习惯。在学习过程中，培养学生反思能力，是提高学生元认知水平、有效改善学习的重要途径。在具体的教学过程中，教师要有意识的培养学生的反思习惯，不仅培养学生对新知识学习的反思，还要培养学生对数学解题过程和方法的反思，这样有助于学生不断的总结，不断的发现问题，增强做题的准确性。

五、减少学生在数学解题中产生错误的教学策略

1.注重“数学阅读”教学。就“数学阅读”的必要性，我向学校初二年级的学生做过问卷调查，结果显示：72%的学生觉得数学学习只要能把题目做出来就可以了，不需要阅读；大约30%的学生觉得数学教材也不需要阅读，反正上课时教师都会讲。初中学生的年龄特征决定了他们难以长时间集中注意力，往往采用浏览、略读的方式。这样的阅读方法，对于一些简单的常规题型，还能够解决，但对于一些题目长、复杂的题型，学生就不能正确的理解题意，所以阅读在教学中的应用显得尤为重要。

2.提高数学审题的能力。对于一些简单的数学题目，只要认真审题，正确的解答并不困难。但对于一些条件比较复杂、隐蔽的题目，则需要认真阅读，准确把握问题的条件和结论。审题时一定要注意抓住关键词，想办法挖掘题目的内涵和外延。提高审题能力可以帮助学生从题目中获取尽可能多的信息，是提高学生数学解题能力的重要途径。

3.提高数学计算的能力。学生的计算能力是初中生必备的技能，作为教师应在平时的教学中重视学生计算能力的训练与培养。在计算过程中要求学生能够正确运用好概念、公式、法则，只有做到这些，才能保证最终的运算结果准确无误。

4.提高思维的能力。在数学教学中培养学生的思维能力是减少学生解题错误的重要途径之一。在教学中我们发现，数学成绩好的学生，往往具有思维敏捷、逻辑清晰、做题速度快的特点，并且比一般的学生更具有探索创新的精神。

5.加强解题格式的规范性。规范的数学解题格式，不仅反映了学生的数学技能水平，而且也反映了学生的学习态度和习惯。平时做题时要让学生做到有错必纠，及时修改订正，通过平时的训练能使学生养成耐心、细致、认真的书写习惯，形成规范的解题格式，减少不必要的错误。

6.养成做题反思的习惯。反思是解题后的重要环节，一些同学没有养成题后反思的习惯，同一类问题错了又错，形成了一种习惯性错误。实践证明，通过题后反思能够减少重复出错的几率。反思可以使学生对自己的错误有深刻的理性认识，从而实现认识上的“知其然，又知其所以然”。只有经过深刻反思，从错误中得出深刻教训后，才能得到真正意义上的纠正。

7.整理好数学错题本。我的学生都有一本错题本，及时的记录错误和订正错误。学生在学习数学的过程中，出现数学错误是在所难免的，问题是怎样看待这些错误、利用好这些错误。大多数学生对于错误，往往采取一种回避或轻视的态度，需要教师反复的督促。在平时的教学中，教师应该帮助学生树立起纠错追因的意识，让学生意识到错误的重要价值，引导学生及时分析错误，改正错误，反思错误。

正因为出错，才会有点拨、引导、解惑，才会有教育的敏感和智慧。在“出错”和“改错”的探究中，课堂才是活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的。

六、结语

本研究选择了我平时教学中最常见的资源，通过对学生错误的收集、歸类，探究其原因，并提出一些教学策略。由于知识水平的局限，本论文对初中数学错误的研究与分析有很多不足之处，这些都将成为今后继续研究解题错误的动力。

参考文献：

[1]王春燕.初中生数学问题解决中元认知能力的现状及提高策略的研究[J].重庆师范大学学报，2007，（2）.

[2]武坚.中学生数学学习中常见错误分析与研究[J].云南师范大学学报，2006，（6）.