带无界非线性项的两点边值振荡问题

何勇，徐博

带无界非线性项的两点边值振荡问题

何勇，徐博

(重庆科技学院数理学院，重庆401331)

假定非线性项为次线性的，利用Ekland变分原理证明非线性常微分分方程u″(t)+u(t)+f(t，u(t))=0存在无穷多解.

Ekeland变分原理;次线性;振荡;第一特征值;局部极小;极大极小法

1 主要结论

考虑两点边值问题

其中f:［0，π］×R→R为连续可测泛函.

令f(t，x)是有界的，即存在h∈L1(0，π;R+)，使得对于任意的x∈R和t∈［0，π］有

［1－3］中，方程(1)在条件

或条件

得出在有界条件(2)下，方程(1)具有无穷多个解.在文献［5］中，方程的非线性项满足如下2式

其中

其中

t∈［0，π］，s∈R，|s|≤δ，c3，c4，δ＞0，τ＞1

得出了合适条件下的多重性结论.在本文中，假设非线性项是次线性的，即存在g，h∈L1(0，π;R+)，α∈［0，1］使得

本文的主要结论为如下定理.

定理1在H10上定义泛函φ如下

于是对方程(1)有如下结论:

1)存在一个解序列(un)，所有解都是泛函φ的极小极大型临界点，且当n→∞时，φ(un)→+∞;

2)存在另一个解序列(u*n)，所有解都是泛函φ的局部极小，且当n→∞时，φ(u*n)→－∞.

推论1假设f(t，x)满足(3)式.进一步假设

于是对方程(1)有如下结论:

1)存在一个解序列(un)，所有解都是泛函φ的极小极大型临界点，且当n→∞时，φ(un)→+∞;

注1文献［4］中的定理1是本文定理1在α =0时的一个特例.此外本文的结论区别于之前的其他结论.

2 定理证明

众所周知问题(1)的弱解是泛函φ的临界点.

证明由条件(3)可得(8)和(9)式，故有

C1、C2为正常数且u∈.从以上不等式知命题成立.

证明令u=珔u+珘u，其中珔u=b sin t，珘u∈珟H.对每一个ε＞0，由Cauchy不等式［7］和估计(8)式

其中C(ε)、C3(ε)、C4、C5正常数.令ε=1/8C2有

由条件(5)和上述不等式知命题成立.

定理1的证明令

因此由cn≥M及命题2有，对于所有较大的n，

对于如此的n，在Sn中存在序列(γk)使得当k→∞时有

现在证明序列(vk)在上有界.对于充分大的k有

且存在wk∈γk(［0，1］)使得

对于固定的n，由命题3，存在m，使得γk(［0，1］)与超平面{sin t}+珟H不相交.令wk=珔wk+珘wk，其中珔wk=dksin t且珘wk∈，于是

此外

C6、C7、C8为正常数.于是(t)有界.因此，wk有界.同时vk在上有界.

现在vk是有界的，由文献［2］中命题4.1的证明可知，vk中可得到一个收敛子列，仍记为vk.令un，则有

因此，un是一个临界点且cn是泛函φ的临界值.对于任意的γ∈Sn，如果＜＜，则γ相交于超平面={sin t}+.于是，

由此不等式和命题3可推出

所以定理1的第一个结论得证.

对于u∈Pn有

其中C9、C10、C11是正常数，则φ在Pn上下方有界.

定义

令(uk)是Pn上的极小化序列，即当k→∞时，φ(uk)→μn.从上述不等式知，(uk)在上有界.于是存在一个子序列，仍记为(uk)，使得uk⇀.由于Pn是的闭凸子集，∈Pn.且φ是弱下半连续的，故有

由命题2有

定理1证明完毕.

参考文献

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Two Point Boundary Value Oscillating Problem with Unbounded Nonlinearity

HE Yong，XU Bo
(Department of Mathematics and Physics，Chongqing University of Science and Techonology，Chongqing 401331)

In this paper，we employ the Ekeland’s variational principle to prove the existence of infinitely many solutions for the nonlinear ordinary differencial equation u″(t)+u(t)+f(t，u(t))=0，and so that the nonlinearity is sublinear.

Ekeland’s variational principle;sublinear;oscillating;first eigenvalue;local minimum;minimax methods

O175.8

A

1001－8395(2016)03－0369－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.012

(编辑周俊)

2016－01－04

国家自然科学基金青年基金(61201065)

何勇(1982—)，男，讲师，主要从事概率统计的研究，E－mail:heyongmath@163.com

2010 MSC:34B10;34B15