Pascu类亚纯双单叶函数的系数估计

秦川，冯建中，李小飞，3

Pascu类亚纯双单叶函数的系数估计

秦川1，冯建中2，李小飞2，3

(1.长江大学工程技术学院，湖北荆州434020;2.长江大学信息与数学学院，湖北荆州434000; 3.澳门大学科技学院，澳门519020)

定义2类在Δ={z:z∈C，1＜|z|＜+∞}内的Pascu类亚纯双单叶函数类Mσ(γ，λ，α)和Nσ(γ，λ，β)，利用亚纯函数理论，得到它的系数|b0|、|b1|的边界估计，推广了已有的部分结论.

亚纯;双单叶;星象函数;凸函数

1 预备知识

设A表示在单位圆盘U={z:z∈C，|z|＜1}内解析且满足

的函数族，S表示A中的单叶函数族.称f(z)分别为β阶星象函数和β阶凸函数，若满足下面的条件:

β阶星象函数类和β阶凸函数类分别记为S*(β)和K(β).易知，f(z)∈K(β)当且仅当zf'(z)∈S*(β).称S*(0)=S*和K(0)=K分别为星象函数族和凸函数族.称f(z)为β阶α凸Pascu类函数，记为M(α，β)，当f(z)满足

容易知道，若f(z)∈M(α，β)当且仅当αzf'(z)+(1－α)f(z)∈S*(β).注意到，M(0，β)=S*(β)，M(1，β) =K(β).函数类M(α，β)由文献［1－4］引入并被多次研究其系数问题.

对任意具有(1)式的函数f(z)∈S均存在逆函数f－1(w)定义为:f－1(f(z))=z，f(f－1(w))=w(|w |＜r0(f);r0(f)≥1/4)，这里函数f(z)∈A称为U内的双单叶函数当且仅当f(z)和f－1(w)均为U内的单叶函数，现记Σ表示U内具有(1)式的双单叶函数族.对于f(z)∈Σ，M.Lewin［5］证明了|a2|＜1.51，D.A.Brannan等［6］证明了|a2|≤，E.Netanyahu［7］证明了max|a2| =4/3，同时还有很多研究者对双单叶函数族的子族类的系数|a2|及|a3|的上界、边值问题、逆函数等进行了研究(参见文献［8－12］).

S.Bulut［13］介绍了亚纯双单叶函数的概念:记Δ={z:z∈C，1＜|z|＜+∞}，用σ表示Δ内全体形如(3)式的亚纯单叶函数g(z)的集合

由于g∈σ为单叶函数，存在逆函数g－1定义为: g－1(g(z))=z，g(g－1(w))=w(M＜|w|＜+∞;M＞0).现假设g－1具有如下表达式

称g∈σ为亚纯双单叶函数当且仅当g和g－1均为Δ内的亚纯单叶函数，并用σM表示亚纯双单叶函数族.通过计算，得到g－1的表达式为

M.Schiffer［14］证明了当b0=0时亚纯双单叶函数的系数|b2|≤2/3，P.L.Duren［15］证明了当bk=0(1≤k≤n/2)时亚纯双单叶函数的系数|bn|≤2/(n +1)，众多作者开始研究一些有趣的亚纯双单叶函数类(参见文献［16－19］).本文定义2类新的Δ内的Pascu类亚纯双单叶函数类，通过亚纯函数的性质研究得到了函数类系数|b0|、|b1|的边界.

定义1.1设g(z)∈σM由(3)式定义，称g(z)∈Mσ(γ，λ，α)，若g(z)满足

定义1.2设g(z)∈σM由(3)式定义，称g(z)∈Nσ(γ，λ，β)，若g(z)满足

注意到，本文定义的函数类Mσ(γ，λ，α)是以下一些函数子类的推广:

1)Mσ(0，0，α)=Σ～*(α)为亚纯双单叶α阶强星象函数，Nσ(0，0，α)=Σ*(β)为亚纯双单叶α阶星象函数，由S.G.Hamidi等［20］定义，并研究了函数类的系数的上界;

2)Mσ(1，1，α)=珘K(α)为亚纯双单叶β阶强凸函数，Nσ(1，1，α)=K(β)为亚纯双单叶β阶凸函数，由T.Janani等［21］定义，并研究了函数类的前2项系数估计;

3)Mσ(0，λ，α)=Mσ(λ，α)，Nσ(0，λ，β)= Mσ(λ，β)由S.Bulut［13］定义并研究了首项系数的上界.

2 主要结论

下文中均假设参数满足条件0≤γ≤1，0≤λ≤1，0≤β＜1.为了得到我们的结论，需要用到下面引理2.1和引理2.2.

引理2.1［22］记P为U内的正实部函数，若h(z)∈P，且具有形式

则|ck|≤2，k=1，2，….

假设d(z)为Δ内的正实部函数，即Re d(z)＞0，则d(1/z)为U内的正实部函数，即Re d(1/z)＞0，由引理2.1有:

引理2.2若d(z)为Δ内的正实部函数，且具有形式

则|dk|≤2，k=1，2，….

定理2.1设g(z)∈Mσ(γ，λ，α)由(3)式定义，则

证明由g(z)∈Mσ(γ，λ，α)的定义，可知存在Δ内的正实部函数p(z)、q(w)满足

这里p(z)和q(w)具有下述形式

将(7)和(8)式代入(5)和(6)式，比较两边的常数项和负一次项得

由(9)、(11)式得

对(14)式利用引理2.2得

由(10)式加(12)式得

对(16)式利用引理2.2得

比较(15)和(17)式得

为了得到|b1|的上界，用(10)式减(12)式，再结合(13)式得

利用引理2.2得

另一方面，将(10)、(12)式平方相加得

将(14)式代入(20)式得

由引理2.2得

将(16)式代入(20)式，利用同样的方法得

综合(19)、(21)和(22)式得

定理2.2设g(z)∈Nσ(γ，λ，β)由(3)式定义，则

证明由g(z)∈Nσ(γ，λ，β)的定义，存在Δ内的正实部函数p(z)、q(w)满足

这里p(z)、q(w)分别具有(7)、(8)式.将(7)、(8)式代入(23)、(24)式，比较两边的常数项和负一次项得

由(25)和(27)式得

对(30)式利用引理2.2得

由(26)式加(28)式得

对(32)式利用引理2.2得

比较(31)和(33)式得

为了得到|b1|的不等式，用(26)式减(28)式得

利用引理2.2得

另一方面，用(26)式乘以(28)式得

即

将(30)式代入(35)式得

由引理2.2得

将(32)代入(35)式，利用同样的方法得

综合(34)、(36)和(37)式得

3 推广应用

下面给出本文的几个主要推论.

推论3.1设g(z)∈Σ～*(α)由(3)式定义，则

证明在定理2.1中令γ=0，λ=0.

推论3.1比文献［20］表示更为精确，同时也延伸了文献［20］的结论.

推论3.2设g(z)∈Σ*(α)由(3)式定义，则

证明在定理2.2中令γ=0，λ=0.

推论3.3设g(z)∈珘K(α)由(3)式定义，则

证明在定理2.1中令γ=1，λ=1.

推论3.3是亚纯双单叶凸函数类珘K(α)的系数|b1|的边界，对于|b0|的边界没有限制.

推论3.4设g(z)∈K(β)由(3)式定义，则

证明在定理2.2中令γ=1，λ=1.

推论3.4是亚纯双单叶凸函数类K(α)的系数|b1|的边界，对于|b0|的边界没有限制.

推论3.5［13］设g(z)∈Mσ(λ，α)由(3)式定义，则

证明在定理2.1中令γ=0.

推论3.6［13］设g(z)∈Mσ(λ，β)由(3)式定义，则

证明在定理2.2中令γ=0.

推论3.6将文献［13］的结论表述的更为具体.

致谢长江大学科研发展基金(2013CJY01)和长江大学工程技术学院科技创新基金(15J0802)对本文给予了资助，谨致谢意.

［3］öZLEM G H，SÂLÂGEAN G S.Further properties of β－Pascu convex functions of order α［J］.International J Mathematics and Mathematical Sciences，2007，2007:1－7.

［4］ALI R M，KHAN M H，RAVICHANDRAN V，et al.A class of multivalent functions with negative coefficients defined by convolution［J］.Bull Korean Math Soc，2006，43(1):179－188.

［5］LEWIN M.On a coefficient problem for bi－univalent functions［J］.Proc Am Math Soc，1967，18(1):63－68.

［6］BRANNAN D A，CLUNIE J G.Aspects of contemporary complex analysis［C］//Proceedings of the NATO Advanced Study Institude Held at the University of Durham.New York:Academic Press，1980.

［7］NETANYAHU E.The minimal distance of the image boundary from the origin and the second coefficient of a univalent function in |z|＜1［J］.Arch Rational Mech Anal，1969，32(2):100－112.

［8］SRIVASTAVA H M，MISHRA A K，GOCHHAYAT P.Certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Appl Math Lett，2010，23(10):1188－1192.

［9］PENG Z G，HAN Q Q.On the coefficients of several classes of bi－univalent functions［J］.Acta Math Sci，2014，B34(1):228－240.

［10］SUN Y，JIANG Y P，RASILA A.Coefficient estimates for certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，29(2):351－360.

［11］李小飞，秦川.一类利用从属关系定义的双单叶函数类［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(4):511－514.

［12］熊良鹏，田琳，李小飞.基于Salagean算子的bi－单叶函数系数估计［J］.数学的实践与认识，2015，45(3):219－223.

［13］BULUT S.Coefficient estimates for new subclasses of meromorphic bi－univalent functions［J］.Inter Scholarly Research Notices，2014，2014:1－5.

［14］SCHIFFER M.Sur un probléme dextrémum de la représentation conforme［J］.Bull Soc Math France，1938，66:48－55.

［15］DUREN P L.Coeffcients of meromorphic schlicht functions［J］.Proc Am Math Soc，1971，28(1):169－172.

［16］SAMANEH G H，JANANI T，MURUGUSUNDARAMOORTHY G，et al.Coefficient estimates for certain classes of meromorphic bi－univalent functions［J］.Comptes Rendus Mathematique，2014，352(4):277－282.

［17］BULUT S，MAGESH N，BALAJI V K.Faber polynomial coefficient estimates for certain subclasses of meromorphic bi－univalent functions［J］.Comptes Rendus Mathematique，2015，353(2):113－116.

［18］XIAO H G，XU Q H.Coefficient estimates for three generalized classes of meromorphic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，29(7):1601－1612.

［19］AZIZ F S，JUMA A R.Estimating coefficients for subclasses of meromorphic bi－univalent functions associated with liner operator［J］.Twms J App Eng Math，2014，4(1):39－44.

［20］HAMIDI S G，HALIM S A，JAHANGIRI J M.Faber polynomial coefficient estimates for meromorphic bi－starlike functions［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2013，2013:1－4.

［21］JANANI T，MURUGUSUNDARAMOORTHY G.Coefficient estimates of meromorphic bi－starlike functions of complex order［J］.Int J Anal Appl，2014，4(1):68－77.

［22］POMMERENKE Ch.Univalent Functions［M］.Gotingen:Vandenhoeck and Rupercht，1975.

Coefficient Bounds for Pascu Class of Meromorphic Bi-univalent Functions

QIN Chuan1，FENG Jianzhong2，LI Xiaofei2，3
(1.College of Engineering and Technology，Yangtze University，Jingzhou 434020，Hubei; 2.Faculy of Information and Mathematics，Yangtze University，Jingzhou 434000，Hubei; 3.Faculy of Science and Technology，Macau University，Macau 519020)

In this article，two new subclasses Mσ(γ，λ，α)and Nσ(γ，λ，β)of Pascu class of meromorphic bi-univalent functions are defined in Δ={z:z∈C，1＜|z|＜+∞}.Coefficient bounds|b0|and|b1|of the subclasses are obtained by using properties of meromorphic functions.The results generalize the recent works.

meromorphic;bi-univalent;starlike functions;convex functions

O174.51

A

1001－8395(2016)03－0349－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.009

(编辑余毅)

2015－12－22

湖北省自然科学基金(2013CFAO053)和湖北省教育厅科研基金(B2013281)

秦川(1985—)，女，讲师，主要从事泛函分析、复分析的研究，E－mail:qinchuan0920@163.com

［1］PASCU N N，PODARU V.On the radius of α－starlikeness for starlike functions of order β［C］//Lecture Notes in Math.Berlin: Springer－Verlag，1981:336－349.

［2］DEVI S，SWAMINATHAN A.Integral transforms of functions to be in a class of analytic functions using duality techniques［J］.J Complex Anal，2014，2014:1－10.

2010 MSC:30C45