高阶无迹卡尔曼滤波算法在飞机定位中的应用

刘家学　林松岩

(中国民航大学航空自动化学院　天津 300300)



高阶无迹卡尔曼滤波算法在飞机定位中的应用

刘家学林松岩

(中国民航大学航空自动化学院天津 300300)

摘要无迹卡尔曼滤波算法(UKF)在飞机定位和跟踪的过程中精度不够，原因在于误差变量的偏度和峰态在坐标转换过程中对其分布影响很大。为了解决这一问题，将高阶无迹卡尔曼滤波算法应用到QAR数据中。首先，根据高阶UT变换，选取一组样本点(sigma点)表征k时刻最优估计值前四阶矩的分布特征，通过传递得到k+1时刻一步预测值的先验概率分布。然后以观测数据作为量测值，带入滤波算法得到k+1时刻飞机状态的最优估计值。最后根据计算机产生的模拟噪声数据和真实的QAR数据实现飞机定位的仿真验证。从仿真结果看，高阶无迹卡尔曼滤波算法比无迹卡尔曼滤波精度更高，误差更小，对QAR数据中其他类型的数据形式有一定的借鉴意义。

关键词QAR数据高阶UT变换高阶无迹卡尔曼滤波

0引言

对民航客机进行精确的定位和跟踪尤为重要，但是在以经度、纬度和高度为参考的坐标系中无法有效表示飞机的运动过程，所以常常转化到WGS-84坐标系中进行计算，再通过经度和纬度表示出来。由于这一过程存在非线性变换，所以常常利用无迹卡尔曼滤波算法(UKF)来估计飞机的位置和状态信息。和扩展卡尔曼滤波(EKF)相比，UKF能够获得非线性函数二阶以上的精度[1,2,8]。

无迹卡尔曼滤波用于高维非线性系统时，可能会出现数值不收敛的现象，为了解决有限点后数值发散的问题，Arasaratnam等提出了容积卡尔曼滤波器CKF(Cubature Kalman filter)[3]。Jia等扩展了三阶容积变换CT(Cubature transform)，得到了任意阶精度的高阶CKF[4]。高阶CKF是高阶UKF的一种特例。高阶CKF和高阶UKF的估计精度都取决于高阶CT变换或高阶UT变换中k阶矩的精度[5]。但是当阶数提高后，存在未知变量交叉耦合项，导致无法求出解析解。张勇刚等给出了一种高阶无迹卡尔曼滤波器的解析解的近似解[6]。同时出于稳定性的考虑，讨论了自由参数k的取值，从理论上证明了，和无迹卡尔曼滤波器相比，高阶无迹卡尔曼滤波器提高了非线性系统的定位和跟踪的精度。

本文在这一结论的基础上，将高阶UKF算法应用到真实的飞机飞行数据中。分别使用计算机产生的模拟噪声和真实飞机运行的QAR数据作为观测值，利用高阶UKF算法进行了飞机位置和状态信息的仿真验证。仿真结果标明，和UKF相比，高阶UKF算法可以获得精度更高的状态信息。

1飞机在巡航阶段的运动模型

飞机在巡航阶段的运动可近似认为是沿地表平行的方向做匀速直线运动。在平流层，由风向和风速引起的速度变化很小，可看做高斯白噪声；QAR数据以1 Hz的频率记录GPS采集的飞机的位置信息，位置误差可能由卫星或传播路径引起，也可以看做是高斯白噪声。由大气惯性基准系统(ADIRS)可知，飞机的高度信息基本维持不变，地速、空速等飞机状态参数也保持近似稳定。

以地球质心为原点，以WGS-84坐标系作为空间参考坐标系。带噪声的匀速直线运动模型和观测模型如下：

(1)

(2)

2高阶UKF算法

考虑如下系统的状态方程和量测方程：

xk+1=fk+1|k(xk)+wkzk=hk(xk)+vk

(3)

其中，xk为系统的状态估计，zk为系统的量测估计，f(·)为非线性状态转移函数，h(·)为非线性测量函数，vk为系统的模型噪声，vk为系统的观测噪声，wk和vk为高斯白噪声，且满足：

E[wk]=0,

E[vk]=0,

Cov[wk,wj]=Qkδkj

δkj为狄拉克函数

Cov[vk,vj]=Rkδkj

Cov[wk,vj]=0对∀k≠j

状态和量测的一步预测[6]：

计算状态向量xk-1|k-1的Sigma点及其权值：

第一类Sigma点及其权值：

(4)

第二类Sigma点及其权值：

(5)

第三类Sigma点及其权值：

(6)

其中：

通过非线性函数f(·)传递状态向量xk-1的Sigma点，得到样本点的传递值：

(7)

(8)

k时刻系统状态方差的一步预测值Pk|k-1：

(9)

通过高阶UT变换，得到三类Sigma点及其权值：

(10)

(11)

(12)

通过非线性测量函数h(·)传递预测状态向量xk|k-1的Sigma点，得到变换的样本点：

(13)

计算k时刻量测的一步预测值均值：

(14)

计算k时刻量测的一步预测误差方差阵：

(15)

计算k时刻预测与量测的互相关协方差矩阵：

(16)

计算高阶UKF增益，更新状态向量和方差：

(17)

3仿真分析

实验1仿真条件下基于高阶UKF算法验证

飞机的初始坐标为(114.8051°E，35.8702°N)，大气压高度为7190米。以速度(-55,162.1,-233.3)米/秒做匀速直线运动，同时以经度，纬度作为观测数据。模型噪声即速度噪声均值为0，标准差在三个方向都为1 m/s2，测量误差均值为0，纬度和经度误差标准差都为0.1°，高度误差标准差为10 m。

图1、图2表示模拟数据纬度，经度的观测值以及高阶UKF的滤波值，从图中可以看出，虽然观测值偏离零轴即理想值较大，但是经过滤波后的估计值几乎和理想值重合。

采用如下定义的误差性能指标：

(18)

图1　纬度量测值和四阶UKF估计值的误差分布

图2　经度量测值和四阶UKF估计值的误差分布

在本次实验中，以四阶UKF滤波值作为基准，仿真100次，比较UKF和高阶UKF的性能。从图3可以看出，UKF的滤波误差都高于高阶UKF的滤波误差，说明高阶UKF算法总体性能要好于UKF。

图3　两种滤波算法的性能比较

实验2基于QAR数据的高阶UKF滤波算法验证

QAR数据包含了大量飞机飞行过程中的运动参数，因此可以以QAR数据作为测量数据。飞机的运动模型和测量模型如式(1)、式(2)所示，观测数据来自2014年6月10日CES5658次航班QAR数据，模型的理想值来自本次航班导航台的导航信息。

图4、图5表示飞机真实的纬度和经度的测量值和高阶UKF滤波值。从图中可以看出，GPS接收到的数据并不仅仅受高斯噪声影响，高阶UKF滤波值跟随了测量值的趋势，同时更平滑。但是和模拟数据相比起伏很大，这表明飞机的运动轨迹和理想的匀速直线运动差距较大。

图4　QAR数据纬度量测值和估计值的误差分布

图5　QAR数据经度量测值和估计值的误差分布

图6表示QAR数据中UKF和高阶UKF的性能表现，使用式(18)来判断性能。在图中可以看出，带入真实的QAR数据后，高阶UKF的精确度依然高于UKF，表明高阶UKF确实优于UKF。

图6　QAR数据中两种滤波算法的性能比较

4结语

仿真结果表明，本文所讨论的高阶UKF算法，在采样过程中提取了前一时刻估计值的前四阶矩的分布特性。与常规高阶UKF相比，提高了估计值的精确度，因此在雷达和精确导航与制导方面应用前景广泛。但是与此同时增大了计算量。如果在线性条件下，还可以使用扩维或部分扩维的方法[7,9,10]，进一步简化计算。

参考文献

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[4] Jia B,Xin M,Cheng Y.High-degree cubature Kalman filter[J].Automatica,2013,49(2):510-518.

[5] Julier S J,Uhlmann J K.Unscented filtering and nonlinear estimation[J].Proceedings of the IEEE,2004,92(3):401-422.

[6] 张勇刚,黄玉龙,武哲民,等.一种高阶无迹卡尔曼滤波方法[J].自动化学报,2014,40(5):838-848.

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[10] 黄铫,张天骐,李越雷,等.一种扩维无迹卡尔曼滤波[J].电子测量与仪器学报,2009,23(51):56-60.

APPLICATION OF HIGH-ORDER UNSCENTED KALMAN FILTER IN AIRPLANE LOCALISATION

Liu JiaxueLin Songyan

(SchoolofAeronauticalAutomation,CivilAviationUniversityofChina,Tianjin300300,China)

AbstractThe cause of inadequate accuracy of unscented Kalman filter (UKF) in localising and tracing an airplane is due to the very big influence of skewness and kurtosis of error variables on the distribution of coordinate during its transformation process. In order to solve the problem, we applied high-order UKF algorithm to quick access recorder (QAR) data. First, according to high-order unscented transformation (UT) we chose a set of sample points (sigma points) to characterise the distribution feature of the first four moments of optimal estimating value at time k, and obtained the priori probability distribution of one-step prediction value at time k+1 through transferring. Then we took the observation data as the measured value, and brought in the filtering algorithm to get the optimal estimation value of airplane state at time k+1. At last, according to computer-generated simulative noise data and actual QAR data we achieved the simulated validation of airplane localisation. From the simulation result it is aware that the high-order UKF algorithm has higher accuracy and less error than UKF, this has certain reference significance to the data form of other types in QAR data.

KeywordsQAR dataHigh-order unscented transformationHigh-order UKF

收稿日期：2014-10-23。民航局科技基金项目(MHRD201121)；中央高校基本科研业务费项目(ZXH2012D015,ZXH2012G004)。刘家学，教授，主研领域：信号处理，飞控算法理论研究。林松岩，硕士生。

中图分类号TP391

文献标识码A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.05.064