无穷求和的计算Ⅰ

姜　雯，　邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)



无穷求和的计算Ⅰ

姜雯，邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)

[摘要]应用积分变换法和参数求导法，得到了一些无穷求和的积分表示.给出了这些积分表示的封闭形式或者数值解.

[关键词]无穷求和； 积分变换； 参数求导

1引言

无穷求和的计算是高等数学的一项基本运算，理论物理的解析计算也经常用到.文献[1-8]分别利用幂级数，积分恒等式，范德蒙行列式, 傅里叶级数，特殊函数，泊松求和，交换次序等方法，得到了一些无穷求和的值.无穷求和的形式千变万化，要针对其特点选择最合适的方法来求.本文中的无穷求和形式，文献所用的方法无法求解，要借用求和表达式中某些函数的积分表示，交换积分和求和次序，把容易求和的部分先求出来，结果转化为形式简明的定积分.这样，无穷求和的计算就转化为定积分的计算，可以借助定积分计算方法或者数学软件解析(数值)计算，降低了计算难度，增加了计算精度.本文中的无穷求和和定积分，对于参数来说，都是绝对收敛的，保准了求和积分次序交换的合法性，不再一一证明.

2积分变换法

定义一个无穷求和为

(1)

这个无穷求和按定义数值计算收敛速度很慢，我们希望通过积分变换得到积分表达式，便于数值计算.由以下积分结果

(2)

把(2)式代入(1)式，计算得到

(3)

由无穷求和公式[9]

(4)

得到

(5)

定义一个无穷求和为

(6)

同样这个无穷求和按定义计算收敛很慢，不过可以找到积分表达式使得数值计算速度快.由以下积分计算结果

(7)

把(7)式代入(6)式，计算得到

(8)

由theta函数的定义[9]

θ4(q)=1-2q+2q4-2q9+…,

(9)

得到

(10)

定义以下无穷求和表达式为

(11)

(12)

(13)

由以下积分计算结果

(14)

利用(14)式，把(11-13)式中的log2和分式都写成积分形式.交换求和积分次序，计算得到

(15)

(16)

(17)

3参数求导法

定义一个含参数x的无穷求和为

(18)

(18)式两边对x求导，利用对数伽玛函数微商的极点展开式[9]

(19)

得到

(20)

(20)式两边对x积分，得到

(21)

参数x取特殊值1，计算得到以下无穷求和的值

(22)

定义一个含参数x的无穷求和为

(23)

利用反余切函数的极点展开式[9]

(24)

得到

(25)

(25)式两边对x积分，得到

(26)

参数x取特殊值1/2和1/4 ，计算得到以下无穷求和的值

(27)

(28)

其中G是Catalan常数.

定义一个含参数x的无穷求和为

(29)

(29)式两边对x求导，得到

(30)

(30)式两边对x积分，得到

(31)

参数x取特殊值1/2，计算得到以下无穷求和的值

(32)

4结论

以上这些无穷求和，有一个共同特点，通过积分变换或参数求导，转化为定积分表达.定积分的计算有通用现成的方法，相对容易计算.对于本文中的无穷求和，可以直接利用数学软件计算得到数值结果，也可以计算它们的定积分表达式得到数值结果，这两种方法的结果一致，但后者计算时间少，精度高，适合理论物理中实际课题中无穷求和的计算.

[参考文献]

[1]耿彦如. 一种无穷级数的求和方法[J]. 数学教学研究, 2010, 29(8): 59-60.

[2]程海来. 一类无穷级数的求和[J].大学数学，2013，29(3): 112-114.

[3]于彬. 一类无穷级数的求和[J]. 大学数学，2011，27(2): 177-180.

[4]杨传富, 赵培标. 积分恒等式及其在无穷级数求和中的应用[J].高等数学研究，2010，13(3): 9-11.

[5]宣体佐. 也谈几个无穷级数的求和问题[J].数学通报,1985,11: 44.

[6]莫颂清. 一组无穷级数求和的另一种方法[J]. 数学通报,1985,11:44.

[7]邱为钢. 一类无穷级数和的计算方法[J ].安庆师范学院学报:自然科学版,2007,13 (2) :74-75.

[8]蒋明明，邱为钢. 一类无穷级数和的计算方法Ⅱ[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2008 ,14 (3) :91-92.

[9]王竹溪，郭顿仁. 特殊函数概论[M].北京：北京大学出版社，2000.

Evaluation of Some Infinite Sum Ⅰ

JIANGWen，QIUWei-gang

(School of Science, HuZhou Teacher’s College, Huzhou Zhejiang 313000, China)

Abstract:The integral expression of sums infinite sums is obtained by the integration transformation method and parameter derivation method. The closed form or numerical results are given for this infinite sum.

Key words:infinite sums; integration transformation; parameter derivation

[收稿日期]2015-01-16；[修改日期] 2016-01-22

[基金项目]高等学校数学物理方法课程教学研究项目(JZW-15-Sl-03)；国家自然科学基金(11475062)

[作者简介]邱为钢(1975-),男，博士，副教授，从事数学物理教学研究.Email:wgqiu@hutc.zj.cn

[中图分类号]O173

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2016)02-0118-04