一类特殊行列式的计算及推广

侯丽芬

(朔州师范高等专科学校 数计系，山西 朔州 036002)



一类特殊行列式的计算及推广

侯丽芬

(朔州师范高等专科学校 数计系，山西 朔州 036002)

[摘要]本文通过对例题进行分析，由浅入深，对其多种情形进行推广，总结归纳了这一类型行列式的计算公式，并给出此公式在行列式计算中的应用.

[关键词]行列式;加边法;化三角法;行列式计算

行列式是《高等代数》的一个基本概念，在各个领域都有广泛的应用，其计算的重要性也不言而喻.这里通过对例题的推广，得到一类行列式的各种变形及相应的计算公式，为读者求解这类行列式提供一些参考．

1例题求解及推广

:0111101111011110c1+c2+c3+c43111301131013110

上述行列式的各行和相等，且对角线元素全相等，而其余元素全相等.据此，我们对该行列式推广到一般情形.

(1)

所以Dn=[a+(n-1)x](a-x)n-1.

(1)中行列式的各行和相等，且对角线元素都相等，若对角线元素不都相等，则有:

推广2n阶行列式

Dn=a1x…xxa2…x︙︙⋱︙xx…an=∏ni=1(ai-x)+x∑ni=1∏j≠i,1≤j≤n(aj-x)

(2).

若ai≠x，i=1，2，…，n，应用加边法有

1xx…x0a1x…x0xa2…x︙︙︙⋱︙0xx…an

公式(1)中行列式的各行和相等，且除了对角线以外的元素都相等，若对角线以外的元素不都相等，则有:

推广3n阶行列式

其中 x≠ai(i=1，2， …，n).

(3)

利用化三角法有

xa2a3…ana1-xx-a20…0a1-x0x-a3…0︙︙︙⋱︙a1-x00…xn-an

推广3中行列式的各行和相等，且对角线上中除对角线上各列相同，若对角线上的元素不都相等，则有:

推广4n阶行列式

(4)

仿照推广2、3的计算方法有

1x1x2x3…xn-1a1-x100…0-10a2-x20…0︙︙︙︙⋱︙-1000…an-xn

1+∑ni=1xia1-xix1x2x3…xn0a1-x100…0-10a2-x20…0︙︙︙︙⋱︙-1000…an-xn

2公式的应用

我们举例说明上述推广的应用．

解: 由公式(1) 得Dn=[(1+2)n-1]·(1-2) n-1 = (-1)n-1(2n - 1) ．

其中a1a2…an≠0．

解: 由公式(3)得

例4计算

解: 由公式(4)得

3结束语

行列式的计算是《高等代数》的难点内容之一.这里通过对一道例题深入挖掘，加以……