电磁感应过程中的动力学问题举例

山东省枣庄二中　牛玉平



电磁感应过程中的动力学问题举例

山东省枣庄二中牛玉平

一、命题规律

电磁感应过程中的动力学问题为每年高考的热点，考查方式既有选择题，又有计算题，命题规律主要有以下两点：

（1）与牛顿第二定律、运动学知识结合的动态分析问题。

（2）电磁感应过程中的安培力问题、涉及受力分析及功能关系的问题。

二、电磁感应过程中的动力学问题的解题思路

（1）找准主动运动者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解感应电动势的大小和方向。

（2）根据等效电路图，求解回路中电流的大小及方向。

（3）分析安培力对导体棒运动速度、加速度的影响，从而推出对电路中电流的影响，最后定性分析导体棒的最终运动情况。

（4）根据牛顿第二定律或平衡方程求解。

三、典例选析

图1

例1如图1中a所示，MN左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场。现将一边长为l、质量为m、电阻为R的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场垂直，且bc边与磁场边界MN重合。当t=0时，对线框施加一水平拉力F，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当t=t0时，线框的ad边与磁场边界MN重合。图b为拉力F随时间变化的图线。由以上条件可知，磁场的磁感应强度B的大小为（）。

例2如图2中a所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L1=1 m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接阻值R=1.5 Ω的电阻。质量m=0.2 kg、阻值r=0.5 Ω的金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为L2=4 m，棒与导轨垂直并保持良好接触。整个装置处于一匀强磁场中，该匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图b所示。为保持ab棒静止，在棒上施加了一平行于导轨平面的外力F，g=10 m/s2。求：

图2

（1）当t=2 s时，外力F1的大小。

（2）当t=3 s前的瞬间，外力F2的大小和方向。

（3）请在图c中画出前4 s外力F随时间变化的图像（规定F的方向沿斜面向上为正方向）。

思路点拨（1）由图可知，0～3 s时间内，B均匀增大，回路中产生恒定的感应电动势和感应电流，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出感应电流，由平衡条件求解t=2 s时，外力F1的大小。（2）与上题用同样的方法求出外力F2的大小和方向。（3）由B-t图像得到B与t的关系式，根据平衡条件得到外力F与t的关系式，再作出图像。解决本题的关键是掌握法拉第电磁感应定律、平衡条件、安培力公式和能量守恒定律等电磁学和力学规律。得到解析式后再画图像是解答此类问题的常用思路，我们要多做相关的训练。

刘崐是清末著名的历史人物，也是清末湖南地区具有重大影响力的高级官员。他一心一意为朝廷尽责，对朝廷效忠，十分廉洁,是当时公认的忠臣和清官。从1844年到1882年的38年时间里，刘崐历经道光、咸丰、同治、光绪四朝，仕途显赫,著述颇丰。著作有《刘中丞奏稿》八卷、《刘侍郎奏议》。北京故宫西华门旁的中国第一历史档案馆内收藏有几百副由刘崐书写的奏折，军机处上谕档内也有关于刘崐的记录近三百多条。民国《景东县志稿·艺文志》载有刘崐时文，《禺稷颜子易地则皆然》《通天地人为儒赋》《学然后知不足赋》和《重修岳麓书院记》《岳麓续志补编》等。

根据楞次定律判断可知，ab棒所受的安培力沿轨道向上。

ab棒保持静止，则受力平衡，设外力F1沿轨道向上，则由平衡条件有mgsin30°-B2IL1-F1=0，可解得：F1=mgsin30°-B2IL1=0.2×10×sin30°-1×1×1=0。

（2）当t=3 s前的瞬间，由图可知，B3=1.5 T，设此时外力沿轨道向上，则根据平衡条件得F2+B3IL1-mgsin30°=0，解得F2=mgsin30°-B3IL1=0.2×10×sin30°-1.5×1×1=-0.5 N，负号说明外力沿斜面向下。

（3）规定F的方向沿斜面向上为正方向，在0～3 s内，根据平衡条件有mgsin30°-BIL1-F=0，而B=0.5t（T），

则得F=mgsin30°-BIL1=0.2×10×sin30°-0.5t×1×1=1-0.5t（N）。

画出前4 s外力F随时间变化的图像如图3所示。

图3

例3 如图4所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属 导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为 θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场 的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的 导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做 匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导 轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：

（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ。

（2）导体棒匀速运动的速度大小v。

（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。

图4

思路点拨（1）导体棒在绝缘涂层上做匀速运动，受力平衡，根据平衡条件即可求出动摩擦因数μ。（2）据题意，导体棒在滑上涂层之前已经做匀速运动，推导出安培力与速度的关系，再由平衡条件求出速度大小v。（3）导体棒在涂层上滑动时摩擦生热为QT=μmgdcosθ，再根据能量守恒定律求解电阻产生的焦耳热Q。本题实质是力学的共点力平衡与电磁感应的综合，要求正确分析受力情况，运用平衡条件列方程，关键要正确推导出安培力与速度的关系式，分析出能量是怎样转化的。

解析（1）在绝缘涂层上，导体棒做匀速直线运动，受力平衡，

则有mgsinθ=μmgcosθ，解得：μ=tanθ。

（2）导体棒在光滑导轨上滑动时，安培力F安=BIL，感应电流，感应电动势E=BLv。依次代入得

，由于导体棒受力平衡，所以F安=mgsinθ，解得

（3）导体棒在涂层上滑动时摩擦生热为QT=μmgdcosθ，整个运动过程中，根据能量守恒定律得，解得

例4如图5所示，两根间距为L的金属导滑，轨水MN平和部P分Q，导电轨阻与不导计体，左棒端间弯的曲动部摩分擦光因数为μ，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场Ⅰ，右端有另一磁场Ⅱ，其宽度也为d，但方向竖直向下，两磁场的磁感应强度大小均为B，相隔的距离也为d。有两根质量为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场Ⅱ中点C、D处。现将a棒从弯曲导轨上某一高处由静止释放并沿导轨运动下去。（重力加速度为g）

图5

（1）当a棒在磁场Ⅰ中运动时，若要使b棒在导轨上保持静止，则a棒刚释放时的高度应小于某一值h0，求h0的大小。

（2）若将a棒从弯曲导轨上高度为h（h＜h0）处由静止释放，a棒恰好能运动到磁场Ⅱ的左边界处停止，求a棒克服安培力所做的功。

思路点拨（1）根据b棒受力平衡求出电流的大小，根据闭合电路欧姆定律求出感应电动势的大小，从而求出a棒的速度，根据机械能守恒定律求出a棒下降的高度。（2）在运动的过程中，b棒不动，根据能量守恒定律求出整个过程克服安培力所做的功。本题综合考查了机械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等，综合性较强，对解题能力要求较高。

解析（1）因为a棒进入磁场Ⅰ后做减速运动，所以a棒刚进入Ⅰ区域时，整个回路的感应电流最大，此时若b棒不动，则b棒就可以一直静止不动。

对b棒：BIL=μmg。

（2）由全过程能量守恒和转化规律可得mgh=μmg·2d+W克A，解得W克A=mgh-2μmgd。