函数的导数易错题分析研究*

景慧丽（火箭军工程大学理学院，陕西西安710025）



函数的导数易错题分析研究*

景慧丽
（火箭军工程大学理学院，陕西西安710025）

摘要：函数导数的计算是微积分学中的一个重点，大部分学员在求函数的导数时经常出错。本文分析了学员在求导数过程中经常出现的错误，归纳了错误类型，并且就每种错误类型给出了相应的例题、错误解法，重点分析了错解原因，最后给出了正确解法和注意事项。

关键词：导数；易错题；分析

Abstract:Calculating the functional derivative is one of the most important concepts of the calculus. But most of the students often make mistakes when calculating the functional derivative. The error that students have in the process of problem solving is concluded in this paper. Furthermore，corresponding examples of each type of error are given，and the wrong solution is analyzed，and the correct solution and some matters needing attention are discussed.

Keywords:derivative；easy wrong topic；analysis.

导数是微积分学中最基本的概念也是最重要的概念之一，相应地，求函数的导数也是微积分学中的重点和难点。求函数的导数常用的方法有：利用导数的定义、利用四则运算求导法则、利用复合函数求导法则等等，每种方法都有自己的使用条件和适用范围。但是，作者在教学中发现，大部分学员尤其是初学者，遇到求导数的题目，不管是否满足条件就直接利用运算法则来计算，有时结果尽管“碰巧”正确，但求解方法却是错误的。为了帮助学员掌握函数导数的求法，并能熟练、正确地求函数的导数，作者结合教学实践就学员在解题过程中经常出现的错误进行了分析，归纳了学员解题过程中所出现的错误类型，分析了出错的原因，并给出了正确解法。常见的错误主要有以下几种。

一、在应用导数的定义式时常犯的错误

例1.设f'（x0）存在，求极限

［错解分析］上述解法错在

注1上述解法出错的根本原因是不理解导数定义式的实质。函数f（x）在点x0处的导数f'（x0）的定义式中必有f（x0）这一项，如果没有这一项，绝对不是f'（x0）的定义。另外，从定义式中可以看出f（x）在点x0处的导数f'（x0）是否存在以及f'（x0）的值的大小都与f（x）在点x0处的函数值f（x0）有关［1］。

注2由f'（x0）存在可以得到极限存在，但是，绝对不能由极限存在，得到f'（x0）存在，此时f'（x0）也可能不存在，例如函数f（x）=|x|在x=0处就属于这种情况，具体解题过程不再赘述。

二、求函数在一点的导数时常犯的错误

求函数在一点处的导数通常有两种方法：方法一是直接利用导数的定义来求，方法二是先求出导函数再代值。但是，大部分同学经常是看到这类题目会不假思索地应用方法二，导致错误。

例2［2］.设f（x）=（x-a）φ（x），其中φ（x）在x=a处连续，求f'（a）。

［错解］因为f'（x）=φ（x）+（x-a）φ'（x），所以f'（a）=φ（a）+（a-a）φ' （a）。

［错解分析］上述结果正确，但是解题方法是错误的，即步骤“f'（x）=φ（x）+（x-a）φ'（x）”是错误的。因为题目只说φ（x）在点x=a处连续，没说其可导，所以φ'（x）是否存在是不知道的，当然由于φ（x）是抽象函数，其可导性也是不能判断的，因此f'（x）也不一定存在，所以上述解法是错误的。

［正确解法］本题只能用导数的定义来求，即

注3求抽象函数在连续点处的导数必须用导数的定义求。

注4利用导数的定义求函数在一点的导数是一种常用的方法，即便是初等函数，有时候为了求解方便，也需要用定义来求导。例如，设f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+2015），显然利用乘积求导法则求f'（0）是比较麻烦的，但是利用导数的定义求f'（0）是非常简便的，这里具体解题步骤不再赘述。

三、求分段函数在分段点处的导数时常犯的错误

求分段函数在分段点处的导数是一个难点也是重点。一般地，求分段函数在分段点处的导数都需要应用导数的定义来求，但是在教学中笔者发现，大部分学员还是掌握不了这类题目的求解方法，遇到这类题目就“随心所欲”，想怎么做就怎么做，经常出错。

例3［1］.设。

且f'（x）在x=0处无定义，所以f'（0）不存在。

［错解分析］上述解法错在错用了先求导函数再代值这个方法来求函数在一点的导数值。当函数f（x）在点x0处可导，即f'（x0）存在，并且导函数f'（x）在点x0处有定义时，要求f'（x0），可以先求出导函数f'（x），再把点x0代入。但是绝对不能由f'（x）在点x0处没有定义，得出f'（x0）不存在的结论，f'（x0）也有可能存在，此时必须用导数的定义来判断。因此本解法是错误的。［正确解法］本题只能用导数的定义来求，即

注5分段函数在分段点处的导数一般需要用定义来求，如果在分段点的左右两侧函数的表达式不一样，还需要求左、右导数，如例3如果改为，则需要分别求出左导数f'（0）和右导数（0），再判断f'（0）是否存在。

注6例3只是学员在求分段函数在分段点处的导数时出现的错误之一，其实学员在解这类题目时还经常犯例4中所出现的3类错误。

例4［3］.设，求f′（1）。

当x>1时，f'（x）=（x2）'=2x，所以f'（1）=2，

综上，f'（1）=2。

所以，f'（1）=2。

［错解分析］错解1错误的原因是这种解法是没有理论依据的，是毫无意义的，该解法是学员“随心所欲”地“创造”出来的，但是这种错误解法也是学员经常所出现的。

所以，f'（1）不存在。

注7分段函数在分段点处的导数最好用定义来求，尽管也可以利用导函数极限定理来求，但是需要判断函数是否满足定理的条件，这个过程有时也是比较麻烦的，所以不建议大家利用导函数极限定理来求段函数在分段点处的导数。

四、求参数方程所确定的函数的高阶导数时常犯的错误

例5［5］.设函数y=y（x）由所确定，求。

［错解分析］上述解法错在“（y'）'=（tant）'”这一步。因为函数的自变量是x，而不是t，且二阶导是一阶导再对x求导，而不是对t求导，因此上述解法所以是错误的。其实，上述解法中是等于（tant）'的。

［正确解法］

以上就是学员们在求函数的导数时经常出现的错误，其实只要学员真正理解了导数的概念，掌握了求导数的各种方法的本质及使用范围和技巧，上述错误是完全可以避免的。当然，教员也应允许学员在学习过程中出错，学员对概念理解有偏差、解题过程出现错误都是正常的，都是符合实际情况的。另外，教员也要正确看待这些“错题”资源，这些资源都是非常宝贵的教学资源，心理学家盖耶曾说过：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”［6］所以，在教学中，教员要主动挖掘学员“错题”中的“闪光点”，及时进行探究、分析和讲评，这不但可以为学员创造新的学习机会，而且还可以培养学员的问题意识［7］，培养和提高学员发现问题的能力。

参考文献

［1］马知恩，王绵森.高等数学疑难问题选讲［M］.第一版.北京：高等教育出版社，2014：77-80.

［2］陈文灯，武海燕，李冬红.高等数学复习指导-思路、方法与技巧［M］.第二版.北京：清华大学出版社，2011：103.

［3］同济大学应用数学系.高等数学（上）［M］.第七版.北京：高等教育出版社，2014：83.

［4］华东师范大学数学系.数学分析（上）［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2002：122.

［5］高等学校工科数学课程教学指导委员会本科组.高等数学释疑解难［M］.第一版.北京：高等教育出版社，1992：48.

［6］钱怡杰.基于错题的高三基础会计教学探究［J］.经营管理者，2015，2：372-373.

［7］景慧丽.第二类曲面积分易错题分析研究［J］.商丘职业技术学院学报，2015，5：4-8.

中图分类号：O172

文献标志码：A

文章编号：2096-000X（2016）10-0260-03

*基金项目：火箭军工程大学2015年度教育教学立项课题（项目编号：EPGC2015008）

作者简介：景慧丽（1983-），女，汉族，河南平顶山人，硕士，讲师，研究方向：大学数学教育，最优化理论与应用。