利用几何画板探索圆锥曲线试题题根的教学案例

江苏省海门中学证大校区　　黄卫平　　(邮编：226100)



利用几何画板探索圆锥曲线试题题根的教学案例

江苏省海门中学证大校区黄卫平(邮编：226100)

对于一个试题，削弱其条件，加强其结论，追根溯源得到一个更加普遍性意义的结论，这就是这个试题的题根．如果我们对一个试题疑似它有一个有价值的题根，就应该大胆进行猜测，探索论证其正确性．研究试题的题根，对教师而言，能够有效提升业务素质，对命制试卷具有题库作用；对学生而言，培养研究探索精神和推理论证能力大有益处．在圆锥曲线问题中，利用几何画板研究问题的一般性，探索结论的正确性具有特殊的优势．

下面以一道2015年江苏高考学科基地秘卷(数学第十套)(江苏人民出版社)上的试题为例，和大家分享利用几何画板探索圆锥曲线试题题根的教学案例．

(1)求该椭圆的方程；

(2)求证：直线MN恒过x轴上的一个定点．

通过几何画板演示发现(如图3)，结论是肯定的，下面进行证明．

①

②

下面证明，当PM、PN斜率都存在时，直线MN也经过点Q.

设直线PM的方程为y-y0=k(x-x0),与椭圆方程联立，消去y,整理得

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,由韦达定理可知，

所以yM=kxM+(y0-kx0)

将上述繁分式进行化简，并将分子分母分别按k进行降幂排列，得到

探索2当点P在椭圆上运动的时候，这个定点Q的轨迹有什么特征？

设点Q的坐标为(x，y),则

这就是点Q的轨迹方程，轨迹为椭圆，而且这个椭圆和已知椭圆以原点为中心位似．

探索3如果将条件中的“垂直”改为“其它角度”，结论又会如何？

我们以直线PM、PN相交……