一道解析几何试题的探究与推广

安徽省铜陵市第一中学　　李　晟　　古　杨　　(邮编：244000)



一道解析几何试题的探究与推广

安徽省铜陵市第一中学李晟古杨(邮编：244000)

1原题再现

在最近一次高三数学模拟考试中，有如下一道解析几何试题：

(1)证明：直线MP垂直于x轴；

(2)求动点M的轨迹方程.

①

②

即x0=xM,所以MP⊥x轴.

即y=x2-x+2为点M的轨迹方程.

2推广引申

直观感知上述问题的结论对一般抛物线也是成立的，经过探究，我们得到：

对于一般抛物线成立的性质，对于椭圆是否成立呢？通过研究，我们得到

因为y0=kx0+m,

通过推广1和推广2的探究，我们可以断定该性质在双曲线中也成立，于是有

因为y0=kx0+m,

在推广1中，我们改变抛物线与直线方程的形式，于是得到：

推广4可采用原题所用的证明方法予以证明，此处从略.

3猜想

通过对有心圆锥曲线上述性质的研究，我们得到如下猜想：

因笔者水平所限，没能对提出的猜想予以证明，请有兴趣的读者进行继续研究.

其实，该问题还有另外一个研究视角：在推广1至3中，把直线变成与圆锥曲线相离的圆，结论又将如何？直线MP是否垂直于x轴？点M的轨迹是什么？也请有兴趣的读者能够进行继续研究.

(收稿日期：2016-03-12)