由一道高三质检题看两类数学题的探究

云南省易门县第一中学　　吕顺宁　　(邮编：651100)



由一道高三质检题看两类数学题的探究

云南省易门县第一中学吕顺宁(邮编：651100)

2016年云南省玉溪市高中毕业生第一次教学质量检测理科数学第21题为：

题目已知函数f(x)=2lnx-ax+a,(a∈R).

(I) 讨论f(x)的单调性；

(II) 若∀x∈(0,+),f(x)≤0, 证明: 当0

这是一道构思精巧的函数与不等式的综合题，着重考查导数在研究函数的性质以及证明函数不等式中的综合运用，试题呈现起点低、落点高，知识综合性强，对考生能力要求高的特点. 考后分析知试题的第(II)问得分率非常低，可见该题实属不易.由此引发笔者对该问题解法分析和背景溯源以及由此引出的两类高考题解法探究的一些思考,赘述如下.

1试题原解答

(II) 证明由(I)知，若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+)上单调递增，又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立. 若a>2, 当时, f(x)单调递增, f(x)>f(1)=0,不合题意；若0f(1)=0,不合题意；若a=2,f(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+)单调递减, 符合题意，故a=2. f(x)=2lnx-2x+2且lnx≤x-1(当且仅当x=1时取“=”). 当0

上述解法由命题组提供. 不难看出, 证明的关键是通过过渡不等式：lnx≤x-1(当且仅当x=1时取“=”)的搭桥，将超越不等式放缩转化为代数不等式，从而使不等式获证.问题在于证明中不等式：“lnx≤x-1”的出现“像是从魔术师的帽子里跑出一只兔子”，显得突兀不自然, “解题应力求简单自然. 要抓住问题的实质，直接剖取核心，不要拖泥带水、兜圈子、使出很多‘费招’”[1]. 因此我们不禁要问:不等式“lnx≤x-1”是怎么想到的？而且能作为证题的关键依据？尽管我们老师知道课后习题：“ex>x+1,x≠0”这一结论(见人教A版选修2—2第32页B组第1题第(3)小题)，对它两边取自然对数,再用x-1替换x即可得到.但不至于又要求学生将其作为重要结论加以记忆，日后用之吧？再者，在……