谈合成定理和基点法的异同点

吴鹤翔　刘　瑶　李明宝

(东北林业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨　150040)



谈合成定理和基点法的异同点

吴鹤翔刘瑶李明宝

(东北林业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150040)

摘要:以学生在学习过程中存在的问题为出发点，对比分析了点的速度(加速度)合成定理和点的速度(加速度)基点法之间的联系与差别，为学生深入理解和应用点的合成运动和刚体平面运动相关知识点提供了参考。

关键词:理论力学，合成定理，基点法

0　引言

有关点的合成运动和刚体平面运动的内容在理论力学中是较难真正理解掌握的内容之一。大部分同学对这两部分内容的学习是相互独立的，学习过程中对每部分内容似乎都懂了，也能够求解相关的习题，但对于部分勤于思考的同学，在理解两部分内容之间的联系和差异时却出现了问题。本文从学生理解相关知识过程中存在的问题出发，通过理论分析和例题分析对理论力学教材中关于点的合成定理和基点法之间的关系给出了解释和说明，以期解决初学者在理解和应用这两部分知识点时存在的问题。

1　问题的提出

在许多理论力学教材中点的合成运动和刚体的平面运动是相连的两章内容，分别重点介绍了点的速度(加速度)合成定理和点的速度(加速度)基点法两种求解运动学问题的思路［1-4］。两种求解方法之间存在着理论上的联系和应用上的差异，是运动学部分的重点所在。应用这两部分理论内容求解的习题均是运动学问题，并且从题目的条件和问题的叙述，物体系的组成，到求解过程均存在着极大的相似之处。这使得部分勤于钻研的同学在理解时产生了困难，在题目未明确要求使用方法的情况下，或者处理综合类题目的时候，如何判断求解题目应采用的方法，以及这两部分理论在本质上存在哪些联系和差别。

2　分析和讨论

通过分析如下例题对上述问题进行深入的讨论［1］。

例1:如图1a)所示刨床机构，已知曲柄O1A=r，以匀角速度ω1转动，l=4r。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。

图1　刨床机构

例2:如图1b)所示刨床机构，已知曲柄O1A=r，以匀角速度ω1转动，l=4r。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。

已知例1和例2中Ⅰ区部分的条件完全相同，因此根据速度和加速度合成定理对两例题中的Ⅰ区部分进行求解。如图2a)所示，取A点为动点，杆件AB为动系，进行速度分析:

联立方程(3)和方程(4)得:

图2　动点A运动分析

如图2b)所示，取A点为动点，杆件AB为动系，进行加速度分析:

将方程(7)～方程(9)代入方程(6)中得:

基于上述求解结果，对例1和例2中的Ⅱ区部分分别求解。

根据速度和加速度合成定理对例1中的Ⅱ区部分求解，如图3a)所示，取B点为动点，杆件AB为动系，进行速度分析:

图3　例1中动点B运动分析

如图3b)所示，取B点为动点，杆件AB为动系，进行加速度分析:

将方程(14)和方程(15)代入方程(13)中得:

根据速度和加速度基点法对例2中的Ⅱ区部分求解，如图4a)所示，取杆件BC为研究对象，以 B点为基点，进行速度分析:

图4　例2中杆件BC运动分析

如图4b)所示，取杆件BC为研究对象，以B点为基点，进行加速度分析:

将方程(21)和方程(22)代入方程(20)中得:

由上述例题及求解过程可以看到，两道题目给出的已知条件和求解问题完全相同，图示给出的机构极其相似，其中Ⅰ区完全相同，只有Ⅱ区一个杆件的连接方式有差别。题目的相似性是初学者在区分理解和应用点的速度(加速度)合成定理和点的速度(加速度)基点法时存在困难的主要原因。题目中Ⅱ区杆件连接方式是唯一的差别所在，这也正表明了点的速度(加速度)合成定理和点的速度(加速度)基点法之间的联系和差异。对例1的求解采用了点的速度(加速度)合成定理。分析图1a)中Ⅱ区杆件的连接方式可以看到，求解运动状态的C点和已知运动状态的B点在两个不同的刚体上，点的速度(加速度)合成定理用于分析两个刚体(杆件AB和杆件BC)相接触且有相对运动或两个刚体虽然不接触但有相对运动时，这两个不同刚体上相重合的一点的速度和加速度的问题。这里在使用点的速度(加速度)合成定理时，刚体有两个，点只有一个(本质是两个，在不同的两个刚体上，但重合于一点)。对例2的求解采用了点的速度(加速度)基点法。分析图1b)中Ⅱ区杆件的连接方式可以看到，求解运动状态的C点和已知运动状态的B点在同一个刚体上，点的速度(加速度)基点法用于分析作平面运动的一个刚体(杆件BC)上两个不同点间的速度和加速度的问题。这里在使用点的速度(加速度)基点法时，刚体只有一个，点有两个。

理论力学教材中讲解点的速度(加速度)合成定理和点的速度(加速度)基点法时的方法和过程是相似的，这是由于两种理论方法既存在联系也具有差异。通常对点的速度(加速度)基点法的讲解会引用合成运动理论的观点进行解释，两种理论方法的本质都是点在定参考系中运动的参数等于点在动参考系中运动和动参考系在定参考系中运动的同一参数的矢量和，是一种合成理论，这是两种理论方法的共同点。两种理论方法的差异除了上述求解应用时要依不同条件选择相应的理论方法外，合成定理求解加速度时重点讨论了科氏加速度的问题，而基点法中却未提及科氏加速度。科氏加速度是在点的合成运动中牵连运动为曲线运动时产生的加速度。在基点法求平面内任一点的加速度时，虽然也是基于点的加速度合成理论(牵连运动与相对运动合成绝对运动)，但基点法的运动合成是随同基点的平移和绕基点的转动。此时是将基点上建立参考坐标系的运动作为牵连运动，牵连运动是基点上的坐标系的运动，而不是基点的运动。参考系运动过程中坐标轴的方向始终保持不变，因此牵连运动始终在作平动。通过基点法求解点的加速度问题时不存在科氏加速度。

3　结语

本文从习题应用的角度出发，通过分析例题讨论了运动学中点的合成定理和基点法的相关性及差异性，研究结果表明:

1)点的速度(加速度)合成定理和点的速度(加速度)基点法都是基于运动合成基本理论。

2)点的速度(加速度)合成定理用于分析有相对运动的两个刚体上相重合的一个点的速度和加速度的问题。点的速度(加速度)基点法用于分析作平面运动的一个刚体上两个不同点间的速度和加速度的问题。

3)建立在基点上的参考坐标系的牵连运动始终作平动，因此按照运动合成的观点，基点法求解点的加速度问题中不存在科氏加速度。

本文的结论对深入学习点的合成运动和刚体平面运动两部分内容有重要的意义，有助于澄清学生在理解过程中产生的问题。

参考文献:

［1］ 哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学［M］．北京:高等教育出版社，2009．

［2］林兰华．理论力学［M］．北京:科学出版社，2009．

［3］罗特军．理论力学［M］．武汉:武汉大学出版社，2013．

［4］ 孙雅珍，侯祥林．理论力学［M］．北京:中国电力出版社，2015．

中图分类号:G642．0

文献标识码:A

文章编号:1009-6825(2016)17-0247-02

收稿日期:2016-04-03

作者简介:吴鹤翔(1983-)，男，讲师

On similarities and differences between compound theorem and basic point method

Wu HexiangLiu YaoLi Mingbao
(College of Civil Engineering，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China)

Abstract:From some problems in the students’learning process，the paper compares and analyzes the relation and difference between the compound theorem of the point’s speed and the basic point method of the point’s speed，so as to provide some reference for the understanding and application of the compound movement and the related knowledge of rigid movement plane movement．

Key words:theoretic dynamics，compound theorem，basic point method