在知识迁移和数形结合中主动建构

徐永军

教学内容：苏教版教科书五年级下册第80页例1“试一试”和“练一练”，练习十二第1～4题。

教学目标：

1. 使学生经历探索异分母分数加、减法计算方法的过程，感受“相同计数单位直接相加减”，在理解算理的基础上正确计算异分母分数的加、减法。

2. 使学生在学习过程中，进一步体验“转化”思想在解决问题中的重要作用，发展数学思考。

3. 使学生在数学学习活动中，获得一些成功的体验，进一步增强探索数学知识的兴趣和信心。

教学重点：探索异分母分数加、减法的算法，体会转化在异分母分数加、减法中的重要性。

教学难点：理解异分母分数加、减法的算理。

教学准备：课件、学习单

教学过程：

一、 复习旧知，引入课题

谈话：同学们，这是加、减法，大家肯定想到了整数加、减法，还想到了什么？

提问：我们在计算整数加、减法时，应注意什么？小数加、减法呢？

明确：计算整数加、减法和小数加、减法时需要相同数位对齐，也就是只有相同的计数单位才能直接相加减。

谈话：同分母分数加、减法我们是怎样计算的？

学生结合37+27=57汇报同分母分数加法的计算方法。

明确：分数单位相同时分母不变分子直接相加减，即相同计数单位才能直接相加减。

谈话：由同分母分数加、减法我们还能想到了什么加减法？（异分母分数加减法）异分母分数的加、减法如何计算呢？今天我们就一起来研究（板书课题）。

评析：引导对整数、小数加、减法及同分母分数加、减法的算理和计算注意点的回忆，不仅了解学生旧知的掌握情况，同时也帮助学生提取学习新知的相关知识基础，更重要的是为了引导他们体会计算方法背后的基本原理，既为学生探究新知提供有力支撑，又有助于学生建构计算知识版块更具整体性的认知结构。

二、 自主探究，理解算理

1. 探究

（1） 理解题意

出示例题：明桥小学有一块长方形试验田，其中12种黄瓜，14种番茄，18种土豆，116种辣椒。

大家默读题目，结合示意图，说说题意。

提问：请任意选择两个条件，提一个用分数加法或减法解决的数学问题并列式？

学生1：种黄瓜和番茄的面积一共占这块地的几分之几？算式是12+14。

学生2：种黄瓜和辣椒的面积一共占这块地的几分之几？算式是12+116。

学生3：种黄瓜比番茄多的面积占这块地的几分之几？算式是12-14。

学生4：种番茄比土豆多的面积占这块地的几分之几？算式是14-18。

……

谈话：仔细解读示意图，可以发现其中蕴含着丰富的数学信息。

（2） 探究算理

谈话：我们知道12+14是一道异分母分数加法，结果会是多少，我们又是怎样验证的呢？课前，大家独立思考，认真研究，想出了很多方法。请选择一种方法和大家交流。

学生1：12+14=05+025=075=34

追问：这儿的05和02为什么可以直接相加？

明确：它们的计数单位都是01，所以直接相加。把异分母分数加法转化为我们熟悉的小数加法也能得到答案。

学生2：我用折纸的方法，把长方形纸对折，其中一份表示12，再对折，这份表示14，这时就可以看出12变成了24，结果就是34。

追问：第二次对折后，那条折痕就把12变成了几分之几，分数的大小变化了吗？

学生3：我用画图，……

谈话：其实他们的想法是一样的，都是把1个12转化为2个14，就和这一个14合成3个14就是34。

学生4：我采用的是通分的方法，把12通分为24，24+14得到34。

追问：为什么要通分？怎样通分？通分后，分数单位是多少？

交流完成板书：12+14=24+14=34

回顾：我们通过画图、计算等方法验证了结果等于34，其实这些方法都有共同之处，都是为了达到什么目的？也就是把不同的分数单位转化为相同的分数单位，即相同的计数单位，这样就可以直接相加了。像这样把新知识转化为旧知识，是学习数学的重要方法。

（3） 谈话：要求“黄瓜和辣椒的面积一共占这块地的几分之几？”怎样列式？你会解答吗？

提问：你是怎样解答的？通分后分数单位都是多少？

谈话：像他这样采用通分的方法计算出结果的人请举手。选择其他方法的同学请举手，你是怎么想的？

交流后小结：我们一般采用通分的方法将异分母分数转化成同分母分数再计算（板书）。

评析：算理的探索和理解，充分利用学生已有的知识和经验，大胆放手，互动交流，在思维碰撞中逐步加深对“相同分数单位才能直接相加”算理的理解。课前，学生采用折一折、画一画、算一算等方法自主探究12+14的结果。课上，学生充分表达自己的见解，讲述自己如何找到答案的，所有的方法都有相同目的——异分母分数转化为同分母分数。05和02为什么可以直接相加，二次对折的折痕把12转化成什么，计算中为什么要把12转化成24，一次次的追问，加深了对算理的理解。12+116，为什么用通分而不用其他方法，优化了算法。

2. 迁移

引导：异分母分数加法会做了，异分母分数减法会做吗？请你选择其中一道（之前选择两个条件提问题列的式子）减法算式自己试一试。

学生汇报交流异分母分数减法计算方法及过程。（根据学生回答板书）

提问：你认为异分母分数减法怎样计算？

说明：我们一般采用通分的方法将异分母分数转化成同分母分数再计算（板书：通分）。

3. 练习

35+13710-16712+141-49

提问：你是怎样计算的？计算的结果需要注意什么？

观察每道算式的分母特点，你发现什么？

交流小结：可以根据两数关系快速地找到公分母。

谈话：要知道计算结果是否正确我们还可以进行验算。谁来说说加法怎样验算？减法呢？

交流明确：分数加、减法的验算方法和整数、小数加、减法验算的方法一样。

评析：学生已经初步掌握异分母分数加法的计算方法，让学生尝试计算异分母分数减法，把异分母分数加法的计算方法迁移到异分母分数减法中，有助于提高学生的学习能力。精选的四道习题，让学生在异分母分数加、减法计算的进一步练习中强调计算结果能约分的要约成最简分数，并感受到“根据两数关系可以快速找到公分母”，帮助学生逐步熟练相关计算方法与技能，同时明确分数加、减法和整数、小数加、减法验算方法的一致性。

4. 概括

提问：计算异分母分数加、减法要注意什么？

交流明确：计算异分母分数加、减法时，要先通分，再按同分母分数加、减法进行计算；计算结果能约分的要约成最简分数；计算后要自觉验算。

5. 明史

谈话：其实两千多年前，我们祖先就已经掌握了异分母分数加、减法计算的方法。（PPT介绍“合分术”“减分术”）

评析：算理是对算法的解释，是掌握算法的前提，算法是对算理的理解与提炼，它们是相互联系、有机统一的整体。在学生初步理解算理的基础上，引导“计算异分母分数加、减法要注意什么？”的讨论交流，总结计算方法。这样，算理为算法提供了能够这样计算的依据，而算法则使算理更为具体化，成为可操作的程序性知识。“合分术”和“减分术”的介绍，渗透了数学的文化性，丰富学生的数学素养。

三、 运用知识，解决问题

1. 完成练习十二的第4题

（1） 让学生看图，说说图的意思？

（2） 完成前2个问题

交流明确：这儿的结果表示具体数量，应标注合适的单位。

（3） 提问：第3个问题中的“1千米”是指的哪段路程？

2. 数形结合

谈话：（再次出示例题图）要求黄瓜、番茄、土豆、辣椒的种植面积一共占这块地的几分之几？该怎样列式？

引导：借助图形来思考，想一想，这个问题还可以怎样解决？

交流小结：我们通过数形结合还能将问题化繁为简。

评析：习题的安排注重知识的运用，问题的解决，能力的培养。尤其是解决“黄瓜、番茄、土豆、辣椒的种植面积一共占这块地的几分之几”的过程中，巩固了异分母分数加法的计算方法，也渗透了数形结合的思想，培养学生思维的灵活性、创造性。

四、 回顾梳理，形成网络

谈话：今天这节课你有什么收获和大家分享呢？这儿的“计数单位”分别指的什么？

交流明确：无论计数单位是指的个、十、百……及01、001、0001……还是具体的分数单位，只要计数单位相同，就可以直接相加减。

评析：课堂的回顾、整理，不仅分享了课堂的精彩，也再次回顾了异分母分数加、减法的算理，同时沟通了整数、小数、分数加、减法之间的联系，整体上感知了“相同计数单位直接相加减”这一核心知识点，促进认知结构的建构与完善。

总评：

异分母分数加、减法是小学阶段加减法学习的最后阶段，