移动简谐载荷作用下层状地基-轨道耦合系统动力响应分析

巴振宁， 金　威， 梁建文,2

(1.天津大学 建筑工程学院，天津　300072； 2. 天津大学 天津市土木工程结构及新材料重点实验室，天津　300072)

移动简谐载荷作用下层状地基-轨道耦合系统动力响应分析

巴振宁1，2， 金威1， 梁建文1,2

(1.天津大学 建筑工程学院，天津300072； 2. 天津大学 天津市土木工程结构及新材料重点实验室，天津300072)

采用格林函数方法求解层状地基-轨道耦合系统在移动简谐载荷作用下的动力响应问题。通过求解层状地基表面作用移动均布线载荷时的动力格林影响函数，由位移连续条件实现层状地基与轨道的耦合，求得移动简谐载荷作用下频率-波数域内的系统动力响应，最后通过傅里叶逆变换求得时间-空间域内的动力响应;与已有结果的比较验证了方法的正确性，并以均匀半空间地基和基岩上单一土层地基-欧拉梁耦合系统为模型，研究载荷振动频率、移动速度、地基刚度以及土层厚度对动力响应的影响。研究表明移动简谐载荷频率较高时与移动静载荷情况不同，不再具有跨音速时地表位移幅值最大的规律；成层地基-轨道耦合系统在移动简谐载荷作用下的动力响应与均匀地基情况存在显著差异，当载荷频率与层状地基固有频率接近时，地基表面位移幅值较大；另外随着基岩与土层剪切波速比的增大，载荷以超音速经过后地基表面位移振动更加剧烈，振动时间更长，随着土层厚度的增大，位移幅值逐渐向低频区域迁移。

移动简谐载荷；层状地基；格林函数；动力响应

近些年来，我国轨道交通发展迅速，缓解了交通压力的同时极大的促进了沿线地区经济的发展，然而列车运行引起的环境振动问题也愈显突出。列车运行产生的轨道和周围地基的振动问题已成为交通工程和土木工程的热点研究课题，问题的研究对于保障列车安全运行及评估沿线的环境振动问题有着重要的意义。

列车运行引起的环境振动问题，实质是列车运行产生的应力波在地基中的传播问题，属于波动问题的范畴。自Sneddon首次研究了“亚音速”移动线载荷作用于均匀半空间表面时的二维动力响应问题后，诸多学者针对该问题进行了理论研究。其中文献[1-9]将问题简化为地基表面的移动载荷，研究了地基的动力响应问题。为使模型更为精确，文献[10-17]进一步建立了轨道-地基的耦合动力系统，对周围地基及轨道的动力响应进行了研究。

值得指出的是以上关于轨道-地基的耦合系统列车移动载荷作用下的动力响应研究，均假定载荷为轴重静力载荷，然而列车运行过程中，除轴重载荷外还包括由于轨道不平顺等因素产生的动载荷(一般假定为简谐载荷)。关于移动简谐载荷作用下轨道-地基耦合系统的动力响应研究相对较少。Sheng等[18]建立轨道结构多层梁与地基耦合模型研究了移动简谐载荷作用下轨道和地基振动问题；Sheng等[19]进一步建立车辆-轨道-地基耦合系统研究了轨道不平顺引起的轨道和地基振动问题；Auersch[20]采用有限元与边界元耦合方法研究了轨道不平顺引起的地基振动问题；Steenbergen等[21]采用均匀半空间地基，考虑地基与轨道的接触状态，研究了轴重载荷和轨道不平顺引起的轨道和地基振动；蔡袁强等[22]建立列车-轨道-饱和地基耦合系统，采用半解析方法研究了轨道不平顺引起的地基振动问题。

分析以上文献发现，关于由轨道不平顺引起轨道和地基振动的研究，大多基于均匀地基的假定，关于层状地基情况的研究还很少，虽然文献[18-19]给出了层状地基情况的部分结果，但并未针对土层动力特性对动力响应的影响进行详细的研究。根据作者在工程波动方面的研究，成层地基由于考虑了地基自身的动力特性，与均匀地基模型有着本质的差别[23]。因此研究层状地基-轨道耦合系统由轨道不平顺引起的振动问题有着重要的理论意义和工程价值。为此本文在作者给出层状地基三维精确动力刚度矩阵[24]基础上，首先在频率-波数域内进行求解，然后将采用积分变换方法求解时间-空间域内结果，研究了层状地基-轨道耦合系统在移动简谐载荷作用下的轨道及地基振动问题，分析了移动载荷激励频率、移动速度、尤其是土层的刚度及土层厚度等参数对振动的影响，给出了一些结论。

1模型与计算方法

图1　层状地基-轨道耦合系统计算分析模型Fig.1 Layered ground-track coupling system analysis model

1.1层状场地三维精确动力刚度矩阵及移动均匀线载动力格林函数

以位移u(x,y,z,t)、v(x,y,z,t)和w(x,y,z,t)表示的动力平衡方程为

(1)

式中：λ和μ为Lamb常数。U={u,v,w}T为坐标轴三个方向位移向量。

函数f(x,y,z,t)对时间t以及水平坐标x和y的傅里叶变换和逆变换可表示为

(2a)

f(x,y,z,t)=

(2b)

式中：kx和ky为沿x和y方向的波数，ω为圆频率，对式(1)进行如式(2a)所示的傅里叶变换得

式中：kS=ω/cS为S波的波数，λ*=λ[1+2isgn(ω)ζ]和μ*=μ[1+2isgn(ω)ζ]为复lamb常数，ζ为材料滞回阻尼比，i为虚数单位。假定土体中标量波(纵波)和矢量波(横波)的势函数幅值分别为φ和ψ，由Helmholtz定理，土体中的位移满足下式

{u,v,w}T=φ+×ψ

(4)

将式(4)代入式(3)，并将ψ分解为ψ1和ψ2，则势函数φ、ψ1和ψ2可表示为

φ=[Aexp(γ1z)+Bexp(-γ1z)]eiωt-ikxx-ikyy=

(5a)

ψ1=[Cexp(γ2z)+Dexp(-γ2z)]eiωt-ikxx-kyy=

(5b)

ψ2=[Eexp(γ2z)+Fexp(-γ2z)]eiωt-ikxx-ikyy=

(5c)

[Dj]{Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj}T

(6a)

[Sj]{Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj}T

(6b)

(7)

对于成层地基表面作用的移动均布线载荷，令其在时间-空间域内形式为

Pz0(x,y,t)=Pz0δ(y-ct) (-Δ≤x≤Δ)

(8)

对式(8)进行傅里叶变换，将其变换到频率-波数域中为

(9)

将式(9)中求得的载荷代入式(7)，而令其他载荷为零得

(10)

求解式(10)，可得层状地基表面的竖向位移

(11)

1.2层状地基与轨道的耦合

本文将由钢轨、轨枕、垫层和道床组成的轨道结构模拟为弯曲刚度为EI，其单位质量为M的欧拉梁。欧拉梁在密度为Pz0(y,t)的轨道与地基相互作用力和轨道不平顺引起移动简谐载荷P0eiω0tδ(y-ct)(ω0为动载荷圆频率)作用下的动力平衡方程为

P0eiω0tδ(y-ct)

(12)

式中:uR为轨道的竖向位移，由层状地基表面轨道中心处竖向位移轨道位移相等知

uR=w0(0,y,t)=w0(y,t)

(13)

将式(13)代入将式(12)并转换到频率-波数域(ky,ω)中得

(14)

由式(9)和式(11)可得

(15)

求解式(14)得

(16)

变换，可得时间-空间域内的层状地基表面竖向位移w0(x,y,t)。

(17)

由式(13)和式(17)得轨道在时间-空间域内的位移为

(18)

2方法验证

为验证本文方法的正确性，图2给出了本文计算结果与文献[21]给出均匀地基上欧拉梁在移动简谐载荷作用下轨道位移幅值的比较。计算中采用的轨道结构参数见表1，均匀半空间地基参数见表2(本文取阻尼比ζ=0.001模拟无阻尼情况)，载荷移动速度为c=40 m/s，移动载荷幅值为P0=225 kN，图2给出结果为轨道位移幅值随移动载荷频率的变化，频率范围为ω0=10～500 rad/s(f0=1.6～80 Hz)，从图2可知，本文结果与文献[21]给出结果吻合良好，证明了本文方法的正确性。

图2　本文结果与文献[21]给出结果的比较Fig.2 Comparisons with results of article [21]

移动速度c/(m·s-1)载荷幅值P0/kN轨道宽度2Δ/m质量密度M/(Kg·m-1)弯曲刚度EI/(N·m-2)阻尼比ζ402253.626402.2×1080.001

表2　文献[21]采用均匀半空间地基参数

3算例与分析

为研究地基-轨道耦合系统在移动简谐载荷作用下的动力响应，采用均匀地基和基岩上单一土层地基为例进行计算。计算中将轨道模拟为欧拉梁，轨道参数等见表3。移动列车载荷取为单一轮轴竖向载荷，其幅值为160 kN，频率为f0=ω0/2π=0 Hz、5 Hz、12.5 Hz和50 Hz，其中f0=0 Hz代表静力载荷。采用的5种地基模型参数见表4，地基1为均匀半无限地基，其余四种为基岩上单一土层地基。5种地基中，地基1、地基2和地基3对应首层土厚度相同，但基岩与土层剪切波速比不同(阻抗比不同)，而地基2、地基4和地基5对应基岩与土层剪切波速比相同(阻抗比相同)，但土层厚度不同。移动速度以土层的Rayleigh波速(230 m/s)为分界点，取c=120 m/s(低音速)、c=230 m/s(跨音速)和c=350 m/s(超音速)三种情况。

表3　算例载荷运行速度及对应的轨道结构参数

3.1不同地基参数地表位移幅值动力响应

图3给出了地基1(均匀半无限地基)、地基2和地基3(首层土厚度相同，基岩与土层剪切波速比不同)情况，移动简谐载荷作用下轨道中心处地表位移幅值时程。比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)和f0=5 Hz(简谐载荷频率较低)结果发现，低频(f0=5 Hz)情况位移幅值时程与移动静载荷(f0=0 Hz)情况总体上有着相似的规律，表现为在低音速(c=120 m/s)时位移幅值基本上关于t=0时刻对称，位移幅值在跨音速(c=230 m/s)时最大，超音速(c=350 m/s)时位移幅值反而小于低音速情况。从f0=0 Hz和f0=5 Hz结果的比较还可以看出，两者的差别主要在跨音速情况，f0=0 Hz时载荷经过后(t>0)地基竖向位移幅值的波动明显要强于f0=5 Hz对应的位移幅值。

表4　半空间及半空间上单一土层地基参数

图3　不同基岩与土层剪切波速比，地基表面竖向位移幅值时程Fig.3 The time histories of vertical ground surface displacement under different shear wave velocity ratio

比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)与f0=12.5 Hz和50 Hz(中频和高频)结果发现，中高频(f0=12.5 Hz和50 Hz)情况位移幅值时程与移动静载荷(f0=0 Hz)情况明显不同，地基振动的位移幅值最大值不一定出现在跨音速(c=230 m/s)时。同时比较f0=5 Hz、12.5 Hz和50 Hz对应结果发现，地基振动的位移幅值受载荷振动频率的影响明显，如f0=12.5 Hz时，位移幅值在低音速(c=120 m/s)时已表现出关于t=0时刻明显的不对称性，且低音速(c=120m/s)时的位移幅值峰值显著大于超音速(c=350 m/s)和跨音速(c=230 m/s)情况；而f0=50 Hz时，低音速(c=120 m/s)时位移幅值关于t=0时刻表现出更为明显不对称，且轨道的位移幅峰值受移动速度的影响较小，低音速、跨音速和超音速时位移幅值峰值接近，仅在载荷经过后(t>0)位移幅值随着移动速度的增大逐渐减小。

比较均匀半无限地基(地基1)与基岩上单一土层地基情况(地基2和地基3)结果发现，在低频(f0=5 Hz)和中频(f0=12.5 Hz)时两者存在明显的差异，尤其是在超音速(c=350 m/s)时载荷经过后(t>0)地基位移存在明显的周期振动，这是因为均匀半无限地基情况，地基中仅包含移动载荷作用于轨道产生的振动波，该振动波沿半无限地基传至无穷远，而基岩上单一土层地基，振动波传至基岩面后又被反射回土层内，振动波与反射波产生复杂的相干作用。在高频(f0=50 Hz)时均匀地基与基岩上单一土层地基差异很小，这是因为载荷频率较高时，地基中波主要集中在高频部分，振动波沿深度方向衰减明显，所以基岩面反射波与振动波的相互作用较弱。

比较两种基岩上单一土层地基(地基2和地基3)结果发现，土层厚度相同的基岩上单一土层地基，随着基岩与土层剪切波速比的增大，超音速(c=350 m/s)时移动载荷过后位移幅值的衰减减弱，表现为较大的基岩与土层剪切波速比(地基3)对应着较高的位移幅值和较长的振动持续时间。中频(f0=12.5 Hz)低音速(c=120 m/s)时，地基3的位移幅值峰值显著大于地基2情况，且均大于均匀地基(地基1)情况。这是因为f0=12.5 Hz恰好对应厚度为H=5 m土层的第一共振频率(f=cS/4H=12.5 Hz)。

图4给出了地基3、地基4和地基5(土层厚度不同，基岩与土层剪切波速比相同)情况，移动简谐载荷作用下轨道中心处地表位移幅值时程。比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)和f0=5 Hz(简谐载荷频率较低)结果，同样表明低频(f0=5 Hz)情况位移幅值时程与移动静载荷(f0=0 Hz)情况总体较为相似，表现为低音速(c=120 m/s)时随着土层厚度的增大地表位移幅值逐渐增大，而跨音速(c=230 m/s)和超音速(c=350 m/s)时位移幅值峰值受土层厚度的影响较小。比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)与f0=12.5 Hz和50 Hz(中频和高频)结果则发现，中高频(f0=12.5 Hz和50 Hz)情况位移幅值时程与移动静载荷(f0=0 Hz)情况明显不同。

比较f0=5 Hz、12.5 Hz和50 Hz对应结果发现，载荷频率不同时地表位移幅值随土层厚度的变化也不相同。f0=5 Hz情况，在低音速(c=120 m/s)和跨音速(c=230 m/s)时位移幅值随着土层厚度的增大逐渐增大，在超音速(c=350 m/s)时土层厚度对位移幅值峰值影响非常小，但是随着土层厚度的增大，载荷经过后(t>0)地基位移振动的周期变长。f0=12.5 Hz情况，低音速(c=120 m/s)时土层厚度为H=5.0 m时位移幅值峰值最大，这同样是由于f0=12.5 Hz为地基3对应的固有频率，跨音速(c=230 m/s)土层厚度为H=1.0 m时位移幅值峰值最大，而超音速(c=350 m/s)时土层厚度对位移幅值峰值影响非常小。f0=50 Hz情况，低音速(c=120 m/s)时土层厚度为H=1.0 m时位移幅值峰值最大，而跨音速(c=230 m/s)和超音速(c=350 m/s)时土层厚度对位移幅值峰值影响非常小。

图5给出了地基1(均匀半无限地基)、地基2和地基3(基岩与土层剪切波速比不同，土层厚度相同)情况，移动简谐载荷作用下轨道中心处地基位移幅值的频谱。比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)和f0=5 Hz(简谐载荷频率较低)结果发现，低频(f0=5 Hz)情况位移幅值幅值频谱与移动静载荷(f0=0 Hz)情况整体上较为相似，f0=5 Hz的位移幅值频谱表现为f0=0 Hz位移幅值频谱整体往较高频率的偏移。比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)与f0=12.5 Hz和50 Hz(中频和高频)结果则发现，中高频(f0=12.5 Hz和50 Hz)情况位移幅值频谱与移动静载荷(f0=0 Hz)情况明显不同，尤其是在低音速(c=120 m/s)时。

比较动载荷频率f0=5 Hz、12.5 Hz和50 Hz结果发现，移动载荷振动频率对地表位移幅值的频谱有着显著的影响。如f0=12.5 Hz情况，在音速(c=120 m/s)时位移幅值在0～40 Hz内均有着较大幅值，f0=50.0 Hz情况，位移幅值频谱呈现窄频放大，且随着移动速度的增大，峰值频率逐渐向低频区域迁移，同时位移幅值的峰值逐渐减小。

比较均匀半无限地基(地基1)与基岩上单一土层地基情况(地基2和地基3)结果发现，在低频(f0=5 Hz)和中频(f0=12.5 Hz)时两者存在明显的差异，基岩上单一土层地基的优势频率成分较均匀地基情况要大，尤其是在跨音速(c=230 m/s)和超音速(c=350 m/s)时更为明显。高频(f0=50 Hz)时地基位移幅值频谱受地基的影响较小，均匀地基和基岩上单一土层地基均程窄频放大，峰值频率位移非常接近。

比较两种基岩上单一土层地基(地基2和地基3)结果发现，土层厚度相同的基岩上单一土层地基，位移幅值的峰值频率位置较为接近，但随着基于与土层剪切波速比的增大，位移幅值的频带变得更窄，同时随着基岩与土层剪切波速比的增大，峰值频率处地基的位移幅值逐渐增大。

图6给出了地基3、地基4和地基5(土层厚度不同，基岩与土层剪切波速比相同)情况，移动简谐载荷作用下轨道中心处地基位移幅值的频谱。比较载荷频率f0=0 Hz(移动静载)和f0=5 Hz、12.5 Hz、50 Hz(简谐载荷)结果发现，低频(f0=5 Hz)情况位移幅值频谱与移动静载荷(f0=0 Hz)情况总体上较为相似，但中高频(f0=12.5 Hz和50 Hz)情况位移幅值频谱与移动静载荷(f0=0 Hz)情况存在明显差异。

从图6中还可以看出，土层厚度变化对轨道的位移响应有着显著的影响，随着土层厚度的增大，轨道位移幅值的峰值频率逐渐向低频迁移，且这种现象在载荷频率为低频(f0=5 Hz)和中频(f0=12.5 Hz)时更为明显。

图4　不同土层厚度，地基表面竖向位移幅值时程Fig.4 The time histories of vertical ground surface displacement under different layer thickness

3.2地表位移幅值随载荷频率变化

图7进一步给出了地基2情况，移动简谐列车载荷作用下轨道中心处地基位移时程随载荷频率的变化。从图中可以看出，低音速(c=120 m/s)时，地基表面位移幅值在载荷频率f0=12.5 Hz附近出现峰值，在此频率前，地基位移随着频率的增大逐渐增大，在此频率之后，地基位移随着频率的增大迅速衰减，另外在载荷到达前(t<0)地基已出现较大位移幅值，在载荷过后(t>0)位移幅值迅速衰减；跨音速(c=230 m/s)时，地基表面位移幅值峰值出现在f0=10.0 Hz处，在此频率之间位移幅值峰值受载荷频率的影响较小，在此频率滞后，随着载荷频率的增大，位移幅值迅速衰减，同时发现在频率较低时，载荷过后(t>0)位移呈现非常明显的振动现象，振动时间较长，这与低音速(c=120 m/s)情况存在显著的差别。超音速(c=350 m/s)时，地基表面位移幅值在较宽的频带内(f0=0～50.0 Hz)幅值较大，这与低音速和跨音速情况存在明显差别，同跨音速情况相同，频率较低时，载荷过后(t>0)位移呈现非常明显的振动现象。同时由于超音速时载荷的移动速度大于波在地基中的传播速度，载荷达到前(t<0)位移幅值非常小。

图5　不同剪切波速比，地基表面竖向位移的傅里叶幅值谱Fig.5 The Fourier spectrum of vertical ground surface displacement under different shear wave velocity ratio

图6　不同土层厚度，地基表面竖向位移的傅里叶幅值谱Fig.6 The Fourier spectrum of vertical ground surface displacement under different layer thickness

图7　基岩上单一土层地基表面竖向位移幅值随载荷频率变化和时间的变化曲线Fig.7 Vertical ground surface displacement amplitudes with the change of load frequency and time curve

4结论

本文在层状场地三维精确动力刚度矩阵基础上，推导了层状地基在移动表面均布线载荷作用下的动力格林影响函数，通过轨道中心地基竖向位移与轨道位移相等实现成层地基-轨道耦合，首先在频率-波数域内求解，然后采用傅里叶逆变换将结果变换到时间-空间域中，求得了成层地基-轨道耦合系统在移动简谐载荷作用下的动力响应。研究了载荷频率、移动速度以及基岩与土层的剪切波速比和土层厚度对动力响应的影响，得到了以下结论。

(1) 移动简谐载荷与移动静载荷作用下地基-轨道耦合系统动力响应有着显著的差别。简谐载荷情况在频率较低时与移动静载荷情况类似，跨音速时地基表面位移幅值最大，但随着载荷频率的增大，不再具有跨音速时位移幅值最大的规律。

(2) 层状地基-轨道耦合系统与均匀地基-轨道耦合系统在移动简谐列车载荷作用下的动力影响存在明显差异。层状场地相对于均匀场地情况，在载荷经过后轨道位移幅值出现明显的周期振动，振动时间较长，位移幅值频谱变得很窄，当载荷振动频率与层状地基固有频率接近时，轨道的位移幅值较大。

(3) 随着基岩与土层剪切波速比的增大，超音速时载荷经过后轨道位移幅值增大，振动时间增长，位移幅值频谱变窄。随着土层厚度的增大，轨道位移幅值的峰值逐渐向低频迁移，且这种现象在载荷频率为中低频率时更为明显。

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Dynamic responses of layered foundation-track coupled systems due to moving harmonic loads

BA Zhen-ning1,2, JIN Wei1, LIANG Jian-wen1,2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Tianjin Municipal Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety, Tianjin University, Tianjin 300072,China)

The dynamic responses of a layered foundation-track coupled system due to moving harmonic loads are evaluated using the Green’s Functions method. The results are firstly obtained in the frequency-wave number domain and then results are obtained in the time-space domain using the inverse Fourier transformation. To do this, the Green’s Functions of moving distributed vertical loads, which are acting on the surface of a layered half-space, are deduced based on the three-dimensional exact dynamic stiffness matrix. The validity of the method is confirmed by comparing the results with previously published results, and the effects of the frequencies and velocities of the moving load. In particular, some effects of layering on the dynamic responses are studied by taking a layered ground-track coupled system and a uniform ground-track coupled system as examples. The results show that the maximum ground surface displacements for the moving harmonic loads may not occur at the transonic speed compared to the moving static loads cases. The dynamic responses of the layered foundation-track coupled system are significantly different from those of the uniform case. The amplitudes of the surface ground displacement are much larger when the frequency of the load is close to the natural frequency of the layered ground. The displacement amplitudes of the ground vibrate more is bigger when the load moving on the track with the same frequency as the intrinsic frequency of the foundation. Also, the frequency spectrums of the displacement amplitudes migrate to the low frequency regions as the depth of the layer becomes thicker.

moving harmonic loads; layered ground; Green’s Function; dynamic response

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.010

天津市应用基础及前沿技术研究计划(12JCQNJC04700)；国家自然科学基金资助项目(50908156)

2015-04-27修改稿收到日期：2015-06-29

巴振宁 男，博士，副教授，1980年11月生

TH212；TH213.3

A