SH波对半空间界面圆孔的动力效应

赵春香， 齐　辉

(1. 黑龙江科技大学 理学院，哈尔滨　150022； 2. 哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨　150001)

SH波对半空间界面圆孔的动力效应

赵春香1， 齐辉2

(1. 黑龙江科技大学 理学院，哈尔滨150022； 2. 哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨150001)

采用“镜像法”和“剖分-契合”思想，对SH波作用下半空间双相介质水平界面上圆形孔洞的动应力问题进行了研究。给出了该问题的解析解和孔边动应力分布规律。分析结果表明：适当避开较大的波数比、较高的入射波波数与垂直入射的同时出现，可达到降低孔边动应力的目的。

SH波；半空间；“镜像法”； 界面圆孔；动应力

天然形成或人为回填的地质条件多种多样，发展建设的地下结构也日新月异，当在固体介质中传播的弹性波遇到连续或非连续地质内的孔洞等缺陷时，弹性波将发生反射、折射及散射，这些波将引起孔洞等边缘的动应力强度的增加。而动应力集中程度又是矿井巷道、地铁隧道等地下结构开挖时支护、锚固等安全防护结构设计的重要物理量，所以掌握弹性波的传播规律和地下结构对弹性波的动力响应对保障地下结构设计的安全性具有重要的工程意义。

SH波是一种出平面运动的弹性波，对于许多亟待解决而散射解析解又难以给出的边值问题，研究理论相对成熟的SH波，其研究结果不仅具有其实际问题的工程意义，而且也为研究其他复杂形式的波动问题提供了值得信赖的参考。

自从1971年Trifunac[1]采用波函数展开法开展关于半圆形沉积地形对SH波散射的研究以来，国内外学者对SH波散射问题进行了大量而深入的研究[2-7]。但目前对于半空间双相介质界面上圆形孔洞对SH波的散射问题，还有待于研究。所以本文将借助 “镜像法”和“剖分-契合”思想，构造出由于双相介质分界面和界面上孔洞以及半空间自由表面阻挡SH波前行而形成多次散射的复杂的散射波场的解析表达式，实现理论研究SH波入射条件下半空间内双相介质分界面上圆形孔洞动力响应的目标。在理论研究基础上，运用编程计算手段，对具体算例的圆形孔洞边缘的动应力进行分析讨论，旨在掌握SH波作用下不同的介质参数和不同的入射波参数对动应力集中程度的影响规律，获得圆形孔洞边缘的动应力集中的主要影响因素。

1力学模型

铅垂半空间内双相介质水平界面上圆形孔洞对SH波散射的力学模型见图1。在图1所示坐标系下，沿y=0相接的两种不同介质组成的铅垂半空间内，y<0的直角平面区域Ⅰ中介质的密度和剪切模量分别为ρ1和μ1；y>0的直角平面区域Ⅱ中相应的值为ρ2和μ2；水平界面上含有圆心位于水平界面上半径为a的圆形孔洞，圆形孔洞的圆心到铅垂界面的距离为d。稳态平面SH波沿入射角α0从第四象限向y=0的水平界面入射。

图1　力学模型Fig.1 Mechanical model

2理论分析

首先采用图2所示的“镜像法”，将铅垂半空间的水平界面问题转化为全空间的水平界面问题。然后按照文献[5]的“剖分法”，沿双相介质水平界面“剖分”成上下两个半空间，此时就将全空间的双相介质问题转化为能应用各向同性均匀介质Helmholtz控制方程进行求解的单一介质的半空间问题。

图2　“镜像”模型Fig.2 Model of “image”

(1)

和

(2)

经镜像后的等效入射波场W(i,e)为：

(3)

在y=0的界面上产生的等效反射波W(r,e)和等效折射波W(r,e)分别为：

(4)

(5)

在介质Ⅰ中产生的散射波构造为：

(6)

在介质Ⅱ中产生的散射波构造为

(7)

综上所述，区域Ⅰ和区域Ⅱ中的总波场为：

(8)

区域Ⅰ和区域Ⅱ中总应力场为：

(9)

(10)

区域Ⅰ和区域Ⅱ中确定待定未知数An1和An2的两组边界条件分别为：

(11)

由式(2)～式(11)，即可确定An1和An2。此时，SH波入射下的总波场和总应力场已完全确定。

由文献[8]已求得的Green函数和文献[5]的 “契合法”，就可获得求解用于保障界面应力位移连续条件的未知外力系f1(r0,θ0)和f2(r0,θ0)的定解积分方程组：

W(fs)(r,π)-W(s)(r,π)

(12)

W(fs)(r,0)-W(s)(r,0)

(13)

式中：G1和G2分别为已由文献[8]中的公式G=G(i)+G(s)所定义的区域Ⅰ和区域Ⅱ的Green函数，但因“契合”需要，故此处的G1和G2的作用方向一个向里，另一个则向外。

通常用动应力集中系数作为描述圆形孔洞动应力集中程度的物理量，其形式可写成：

(14)

在平面区域Ⅰ和区域Ⅱ中，r=a上的两半圆孔孔边的环向剪应力分别为：

3计算结果分析

下面以具体算例分析讨论SH波作用下半空间内双相介质分界面上圆形孔洞的动应力。

图3　圆孔边的分布Fig.3 Distribution of around circular cavity edge

(a) k1a=0.1时,圆孔边τ*θz随k*的变化(b) k1a=1.0时,圆孔边τ*θz随k*的变化(c) k1a=2.0时,圆孔边τ*θz随k*的变化图4 圆孔边τ*θz随k*的变化Fig.4Variationofτ*θzwithk*aroundcircularcavityedge

图5　圆孔边随d/a的变化Fig.5 Variation of with d/a around circular cavity edge

(a) k1a=0.1时,圆孔边τ*θz随α0的变化(b) k1a=1.0时,圆孔边τ*θz随α0的变化(c) k1a=2.0时,圆孔边τ*θz随α0的变化图6 圆孔边τ*θz随k1a和α0的变化Fig.6Variationofτ*θzwithk1aandα0aroundcircularcavityedge

4结论

本文采用“镜像法”和“剖分-契合法”，研究了SH波作用下铅垂半空间双相介质界面上圆形孔洞的动力响应问题，应用理论分析和编程计算手段给出了该问题的解析解和孔边动应力分布规律。分析结果表明：

上述分析结果都充分佐证了铅垂自由边界、双相介质界面、介质材料的波数比、SH波的入射角度和入射波数都是影响圆形孔洞边缘各点动应力系数的重要因素。此外，适当避开较大的波数比、较高的入射波波数与垂直入射及斜入射的同时出现，对降低圆孔边动应力的效果是明显的，对减轻结构动力效应是有工程价值的。但当遇到SH波垂直及斜入射条件下的最不利参数组合时，则必须充分考虑SH波对地下结构等工程实际中圆形孔洞的动力影响。

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Dynamic effect of SH wave on interface circular cavity in half space

ZHAO Chun-xiang1, QI Hui2

(1. College of Science, Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin 150022, China；2. College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The analytic solutions and distribution law for dynamic stress of an interface circular cavity in bi-material vertical half-space on an SH wave were obtained using the methods of image and ideas of partitioning-conjunction. The analysis results demonstrate that the purpose of reducing the hole edge dynamic stress can be achieved by properly avoiding the large wave number, while a high incident wave number and the SH-waves incident in the vertical angle appear simultaneously.

SH-wave; half space; ‘image’ method; interface circular cavity; dynamic stress

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.020

黑龙江省自然科学基金资助项目(A201307)

2015-02-03修改稿收到日期：2015-06-26

赵春香 女，博士，副教授，1967生

O343.4

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