Copula函数与核估计理论相结合分析风电场出力相关性的一种新方法

徐玉琴　陈　坤　李俊卿　聂　眑（华北电力大学电气与电子工程学院　保定　071003）



Copula函数与核估计理论相结合分析风电场出力相关性的一种新方法

徐玉琴陈坤李俊卿聂眑
（华北电力大学电气与电子工程学院保定071003）

大型风电场出力的准确预测对风电场接入电网的安全性与经济性有重要意义。针对邻近风电场出力存在一定的相关性，结合Copula函数与核估计理论，提出一种分析风电场出力相关性的新方法。首先结合非参数核密度估计和Copula理论推导了一种Copula核估计函数；然后由此估计函数替代经验Copula函数来分析风电场出力相关性。不同于经验Copula函数，Copula核估计函数为连续函数，能有效消除参数假设误差，并且可从原理上降低参数估计的复杂度与计算量。以华北地区某实际风电场出力为例，将基于Copula核估计函数和经验Copula函数建立的风电场出力相关性模型分别接入到IEEE30节点测试系统进行潮流验证。结果表明，基于Copula核估计函数建立的风电场出力相关性模型更接近于实际数据模型，两者的潮流计算结果较为一致。

风电场相关性Copula函数核估计理论

0　引言

对地理距离较近的多个风电场而言，各风电场在相同时刻下基本处于同一风速带，风场出力将同时具备时间上的随机性和空间上的相关性［1-4］。空间上的相关性表现为各风电场出力变化的近似同向性。由于风电场出力具有随机性和波动性，空间相关性将使得累积叠加后的风场总出力波动更加剧烈，进而影响系统的安全稳定运行［5，6］。因此，相关性分析对大型风电场的并网具有重要意义［7-9］。

金融分析中的Copula函数（也称为连接函数）能较准确描述多维变量的相关结构，近年来该函数已被广泛应用于金融和风电场相关性分析。文献［10］采用Gumbel-Copula函数构建多风电场出力的联合概率分布，并通过分析尾部特征来考虑变量的相关性。文献［11］基于Copula函数建立多风电场相关性模型，并对荷兰多个风电场的出力进行相关性分析。文献［12］采用Copula理论建立风速相关性模型，间接分析风电场出力相关性对电网的影响。这些文献中所采用的Copula函数均需借助于经验Copula，而经验Copula并非连续函数，与实际数据模型之间存在一定的差距，这将导致最终选出的Copula函数参数也存在误差，进而影响风电场出力相关性的分析结果。文献［13，14］基于非参数法和Copula函数得到条件概率密度的核估计，并证明在一定条件下条件概率密度的核估计渐进收敛到真实的条件概率密度。文献［15］采用核估计理论估计二元Copula密度函数，无需进行参数假设，有效缩短了与实际数据模型之间的误差，并指出由此法得到的变量相关结构具有较强的灵活性和实用性。

本文借鉴文献［13-15］中的方法，提出一种基于核估计理论与Copula函数相结合的风电场出力相关性分析方法。该方法采用Copula核估计函数来替代经验Copula函数，有效缩短了与实际数据模型的差距，并从原理上降低参数估计的复杂度。本文推导、论证了一种Copula核估计函数，并给出应用该函数分析风电场出力相关性的具体方法。通过与目前广泛采用的经验Copula法对比及改进IEEE30节点测试系统的潮流计算结果，表明了Copula函数与核估计理论相结合的方法更为简洁、有效。

1　Copula函数基本理论

多维随机变量的联合分布函数能反映变量间的相关特性。因此，对多维变量进行相关性分析最直接有效的方法是求出变量的联合分布函数。但对于非正态的随机变量而言，其联合分布函数的表达式不易给出［16］。

1959年，Sklar提出了 Copula函数理论［17］:设F（x1，x2，…，xn）为n维随机变量x1，x2，…，xn的联合分布函数，各变量对应的边缘分布函数为Fk（xk）（k=1，2，…，n）。若边缘分布函数F1，F2，…，Fn连续，则存在惟一的Copula函数C使得对于随机变量x1，x2，…，xn，满足

对式（1）两端求偏导，得联合密度函数为

式中，fi（xi）为边缘密度函数；c为Copula密度函数。令ui=Fi（xi），则c可表示为

由Sklar定理可看出，任何一个多维联合分布函数均可表示为若干个边缘分布Fk（xk）与描述相关结构的Copula函数的乘积。采用Sklar定理可方便求出非正态随机变量的联合分布函数。

常用的Copula函数主要有椭圆型Copula函数和阿基米德Copula函数，其中前者主要包括Normal-Cpoula 和t-Copula；后者主要包括 Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula。这5类常用 Copula函数的特性见文献［12］。

2　风电场出力分布的核密度估计理论

由于风电场出力不能用某一特定的概率分布描述，因此本文采用非参数法来估计风电场出力的概率分布。然后借鉴文献［13-15］中提出的将核估计理论与Copula函数相结合的方法，给出一种分析风电场出力相关性的Copula核估计函数。

2.1一元核密度估计理论

式中，h为窗宽；K（·）为核函数；Kh（·）表示K（·）/h；n为样本容量。

由上述可知，核密度估计的精度取决于窗宽h的选择。本文采用文献［21］中的方法来求最优窗宽，求解最优窗宽的数学模型为

根据式（6）求得最优窗宽h0，代入式（4）中即可得f（ω）的核密度估计。

2.2多元核密度估计理论

设W1，W2，…，Wn是一组d维服从同一分布的样本，以w=（w1，w2，…，wd）表示d维随机变量，则总体概率密度f（w）=f（w1，w2，…，wd）的核密度估计为

式中，H为窗宽矩阵，是d×d维的对称正定矩阵；K（·）为d维核函数。

多维核密度估计的窗宽矩阵元素较多，最优窗宽矩阵H的确定十分复杂。考虑到H为正定对称矩阵，由矩阵相似变换原理可知H必与某一正对角矩阵等价且相似。为简化计算，取H为d×d维的正对角矩阵，即H=diag（h1，h2，…，hd），多维核函数K（·）取d个单核Ki（·）的乘积。由此得f（w）的核密度估计为

本文采用文献［22］中介绍的交叉验证法来求最优窗宽矩阵。求解最优窗宽矩阵的模型为

由式（9）求得最优窗宽矩阵H后，代入式（8）中即得d维随机变量的联合概率密度函数。

由 Copula函数的性质［15］可知，Copula函数是一类特殊的分布函数，其边缘分布为均匀分布。下面以二元Copula函数为例，结合多变量核密度估计理论，推导一种Copula核估计函数，并给出Copula核估计函数的性质。首先给出几个相关定理如下:

定理1［15］设随机变量u1，u2满足u1～U［0，1］，u2～U［0，1］，则（u1，u2）的联合概率分布是 Copula函数。

定理2设u=（u1，u2），u1，u2分别服从［0，1］上的均匀分布，则u的联合概率密度h（u1，u2）是Copula密度函数，即

证明见附录1。

定理3设｛Uij|i=1，2，…，n；j=1，2｝是随机变量u=（u1，u2）的样本空间，u1，u2～U［0，1］，u的联合概率分布函数为H（u1，u2），真实Copula函数为C（u1，u2），u的核密度估计^u=^u1，^u（）2，则H（u1，u2）的核密度估计由式（11）给出，即

当n→∞时，有

6、栽培管理不当，也会造成早穗现象 如施肥较少，营养供给不足或施肥时间过迟，出现早穗现象的机会相对较多。

证明见附录2。

由定理3可看出，Copula核估计函数一致收敛到真实Copula函数，能有效缩短与实际数据模型之间的误差。此外，在定理1～定理3中将随机变量的数量推广至3个及以上时，定理仍然成立。

3　风电场出力相关性模型的构建方法

3.1数据信息

以华北地区某两个风电场实际出力为样本，样本容量为16 068。两风场基本信息见表1。为便于对比分析，本文先将样本数据进行归一化处理，处理后的部分结果如图1所示。从图1可看出两风场出力具有较强的相关结构。

表1　风电场基本信息Tab.1　Basic information of wind farms

图1　归一化后的风电场出力Fig.1　Normalized output of wind farms

3.2分析风电场出力相关性的方法

结合2.3节推导的Copula核估计函数，可得基于Copula核估计函数分析风电场出力相关性的方法如下:

1）采用非参数法确定风电场出力的边缘分布函数。设｛ωir｝（i=1，2，…，n；r=1，2）为两个风电场出力序列，则风场出力的核分布为

2）由式（13）将风电场出力序列变换为［0，1］上的均匀分布，根据样本的相关特性，选取能准确刻画变量相关结构的Copula函数。由于Copula函数种类众多，为选取方便，图2绘制出变换后的风电场出力序列二元频率直方图。从图2可直观看出，频率直方图在低位和高位具有较大的密度，说明两风场同时高出力和同时低出力的概率比较大，并且风电场同时高出力的概率比低出力大。

图2　两个风电场联合频率直方图Fig.2　Histogram rate distribution of two wind farms

结合文献［12］中给出的5类常用Copula函数特点，发现这些Copula函数均无法准确刻画图2所示的分布特性。文献［23，24］选取多个单一Copula函数进行组合得到混合Copula函数，用混合Copula函数来分析风电场相关性，并指出混合Copula函数对相关性的刻画较单一Copula函数准确。本文沿用此方法，选取反映下尾特征的Clayton-Copula和上尾特征的Gumbel-Copula组成的混合Copula函数来描述变量的相关特性。混合Copula函数形式为

式中，CC、CG分别为Clayton-Copula函数和Gumbel-Copula函数；θ1、θ2为相应Copula函数的参数；Θ为混合Copula函数的参数；λ1、λ2为权重系数，满足λ1+λ2=1，0≤λ1，λ2≤1。可证明混合Copula函数也是Copula函数［25］。

3）确定选取Copula函数的方法。目前从Copula函数族中选择刻画变量相关结构的Copula函数的方法主要有基于备选Copula函数与经验Copula函数之间的最小L2范数和基于似然函数的AIC准则两种方法。当备选Copula函数没有显式或表达式极其复杂以及样本信息量很大时，基于AIC准则的方法将陷入困境。经验Copula函数法是目前比较认可的方法，其表达式为［26］

式中，I［·］为示性函数。当F（xi）≤u时，I［F（xi）≤u］=1；否则I［F（xi）≤u］=0。

式（15）给出的经验Copula函数不连续，由Sklar定理可知，基于经验Copula法确定的Copula函数可能不惟一。本文采用2.3节中给出的Copula核估计函数替代经验Copula函数来选择Copula函数。生成Copula核估计函数的具体步骤如下:

（1）将两风电场出力视为二维随机变量X、Y，采用式（13）给出的风电场出力分布的非参数核密度估计，将X、Y变换为在［0，1］上均匀分布的u，v。由定理1可知（u，v）的联合分布函数是Copula函数。

（2）设变换后的风电场出力序列为｛ui｝、｛vi｝（i=1，2，…，n），采用式（9）给出的极小化模型确定出二维序列（ui，vi）的最优窗带宽矩阵H。

（3）将最优窗宽矩阵元素代入式（11）中即可得到二维变量（u，v）的联合概率分布函数的核估计C^（u，v），即Copula核估计函数。

图3为两个风电场的Copula核密度估计函数。对比图2可看出，二者具有类似的空间分布，说明Copula核估计函数方法是有效的。

图3　Copula核密度估计函数Fig.3　Kernel density estimation of Copula function

（4）确定出反映风电场出力相关性的Copula函数。基于上文所述，以备选Copula函数与Copula核估计函数之间的范数作为目标函数来选择Copula函数，即

式中，Cx（·）为待确定的混合Copula函数。

通过求解式（16）给出的极小化模型即可得到混合Copula函数的参数及权重系数。

为说明Copula核估计函数法的优越性，引入经验Copula函数与备选 Copula函数之间的范数，计算方法为

计算结果见表2。为便于说明混合Copula函数的优越性，表2中同时给出了单一Copula函数与Copula核估计函数的最小L范数。可以看出，两种方法最终选出的Copula函数均为混合Copula函数，说明采用Clayton-Copula函数和Gumbel-Copula函数组合得到混合Copula函数更能准确地反映两风场出力的相关特性。观察计算的最小范数，发现基于Copula核估计选择法的最小范数均比经验Copula函数法小，说明基于Copula核估计选择法得到的结果更准确。

表2　基于Copula核估计函数和基于经验Copula函数的选择结果Tab.2　Selected results based on kernel estimation Copula and empirical Copula

将基于经验Copula函数法和Copula核估计函数法选择的混合Copula函数分别记为CEM和CKM。图4为CKM的密度函数。对比图2～图4可看出，CKM基本保持了样本数据的分布特性，进一步说明基于Copula核估计函数的选择方法是有效的。

3.3Copula函数的统计检验

由定理3可知，Copula核估计函数在n→∞时与真实 Copula函数相同，而样本容量有限。因此，Copula核估计函数只是真实Copula函数的近似。为进一步说明Copula核估计法优于经验法，下面对两种方法选出的Copula函数进行统计检验。

图4　混合Copula密度函数Fig.4　Density function of mixed Copula

文献［27］指出，若u，v～U［0，1］，则C（u，v）为关于u的偏导函数，即条件分布满足C（v|u）～U［0，1］，其中C（v|u）=C1（u，v）=∂C（u，v）/∂u。因此，可通过判断C1（u，v）是否服从（0，1）上的均匀分布来检验两种选择方法确定的Copula函数对样本数据的拟合效果。下面采用P-P图来检验所选Copula函数的条件分布是否服从（0，1）上的均匀分布。图5为两种混合Copula函数的P-P拟合效果图。

图5　两种混合Copula函数的P-P拟合效果图Fig.5　P-P diagrams of two mixed Copula functions

从图5可看出，两种方法确定的Copula函数的条件分布与理论分布较接近，即两种Copula函数都能模拟变量的相关特性，但CKM的条件分布更接近于理论分布。表3分别给出了CKM和CEM的条件分布与理论均匀分布的偏差信息。从表3可看出，CKM的条件分布与理论分布偏差均较CEM小。说明采用核Copula函数法选出的混合Copula函数来分析风电场出力的相关性更为准确。

表3　实际分布与均匀分布的偏差信息Tab.3　Deviations of actual and uniform distribution

4　风电场出力相关性模型的算例

为说明本文所提方法的有效性，下面引入文献［23］中给出的系统潮流计算方法对所建风电场出力相关性模型进行验证。其中，风电场的风电机组以恒功率因数0.95运行。

首先建立3种不同类型的风电场出力模型P= ［PEM，PKM，PH］，其中PEM为基于经验Copula函数法建立的风电场出力模型；PKM为基于Copula核估计函数法建立的风电场出力模型；PH为风电场实际出力模型。然后将风电场视为负的负荷，分别接入IEEE30节点系统的节点10和节点20，进行3次系统潮流计算。具体方法如下:

1）随机产生两组满足混合Copula函数CEM和CKM的样本序列ηEM和ηKM。可知该样本序列服从［0，1］上的均匀分布。

2）采用式（13）对序列ηEM和ηKM进行逆变换，分别得到两个风电场出力序列P1EM、P2EM和P1KM、P2KM。同时读取实际风电场出力序列P1H、P2H。

3）进行3次潮流计算，得到3组不同数据类型下的潮流结果，记录节点6的电压和支路28（10-22）的有功功率。

4）重复1）～3）1 000次，得到节点电压和支路有功的概率分布信息，并对3组模型的潮流计算结果进行对比。

图6　节点6的电压概率密度函数Fig.6　Probability density of voltage of bus 6

图7　节点28的有功概率密度函数Fig.7　Probability density of power of branch 28

图6和图7分别为节点6的电压和支路28的有功功率的概率密度函数。表4为节点电压和支路功率的平均值和标准差。可看出，两种选择方法得到的混合Copula函数均能反映风电场出力的相关结构，但基于Copula核估计函数的方法更准确，表现为其潮流结果与实际出力的潮流更接近。

表4　节点电压及支路功率的平均值与标准差Tab.4　Bus voltage and branch power expectations and standard deviations

5　结论

本文基于Copula函数和核估计理论推导、论证了一种Copula核估计函数，并基于此函数给出分析风电场出力相关性的方法。总结可得以下结论:

1）Copula核估计函数的建立完全基于样本数据，无需进行分布假设，采用该函数选出的Copula函数能较好保持原始样本数据的空间分布。

2）与经验Copula函数法对比可看出，Copula核估计函数与理论Copula函数之间的最小范数更小，说明基于Copula核估计函数选择法得到的Copula函数更能准确地反映风电场出力的相关性。

3）将两种方法得到的风电场出力相关性模型应用于IEEE30节点测试系统进行潮流计算。通过与实际风电场出力模型进行对比，结果表明，基于Copula核估计法建立的风电场出力相关性模型更接近于实际数据模型，二者的计算结果比较一致。

附录

1定理2的证明

证明:由Sklar定理和式（2）可得

由于u1，u2服从均匀分布，故有

式中，i=1，2。将式（A2）代入式（A1）中，即可得式（10）。

2定理3的证明

证明:由定理2可得

在如下的证明中，所有h（·）均由c（·）代替。由分布函数的定义，得

结合定理2和式（7）可得

进一步，可得

由于 u1，u2∈［0，1］，为简化书写，下文中将

一方面，有

将式（A10）代入（A9）中，得

另一方面，有

结合式（A11）～式（A13）可得

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徐玉琴女，1964年生，教授，硕士生导师，研究方向为电力系统运行与控制，配电网及电力系统继电保护。

E-mail:xuyuqin_ncepu@126.com

陈坤男，1990年生，硕士研究生，研究方向为电力系统运行与控制。

E-mail:chkncepu@163.com（通信作者）

A New Method Analyzing Output Correlation of Multi-Wind Farms Based on Combination of Copula Function and Kernel Estimation Theory

Xu YuqinChen KunLi JunqingNie Yang
（School of Electrical and Electronic EngineeringNorth China Electric Power University Baoding071003China）

Accurate wind farms'output prediction possesses a vital part in the security and the economy research when wind farm connecting to the power grid.Considering that there often exists output correlation between adjacent wind farms，a novel method based on the Copula function and the kernel estimation theory is proposed to analysis wind farms'output correlation.Firstly，the kernel estimation Copula function is derived by the Copula function and the nonparametric kernel density estimation theory.Then，the empirical Copula function is replaced by the kernel estimation Copula to analysis the correlation of wind farms'output.Unlike the empirical Copula function，the kernel estimation Copula is a continuous function，and can effectively eliminate the parameter hypothesis error.Moreover，using the kernel estimation Copula can reduce the complexity and calculated amount of parameter estimation in principle.The actual output of wind farms in North China is chosen as an example.The wind farms'output model based on the kernel estimation Copula and the empirical Copula function are connected to the IEEE30 node test system to calculate the power flow.The results show that the correlation model of wind farms'output established by the kernel estimation Copula function is closer to the actual data model，and the two calculation results are consistent.

Wind farm，correlation，Copula function，kernel estimation theory

TM614

河北省自然科学基金资助项目（E2014502015）。

2015-05-12改稿日期 2015-08-18