关于函数项级数一致收敛判别方法的探讨

河南省濮阳市卫生学校 王菲菲



关于函数项级数一致收敛判别方法的探讨

河南省濮阳市卫生学校 王菲菲

摘要：高等数学在整个高职教学体系中占有非常重要的作用，函数收敛问题贯穿于整个高等数学的知识链中，是教学重点也是教学难点。本文从定义、定理角度对函数项级数一致收敛性的判别方法加以归纳探讨，结合实例介绍几种常见方法。

关键词：函数项级数 收敛 一致收敛 判别

函数项级数在收敛时是函数的一种表示方法，这种表示方法可以从更深刻的背景描述一个函数的性态：连续性、可积性、可微性。有了函数项级数知识后就产生了如何通过无穷多个函数的叠加产生新函数以及这样产生的新函数的性质的可能性，而函数项级数的一致收敛性和非一致收敛性在其中起了关键作用。

一、函数项级数的相关知识

1.函数项级数的定义

2.收敛和一致收敛的相关定义

（1） 收敛

（2）一致收敛

二、一致收敛的判别方法

1.M判别法（优级数判别法）

（2）求优级数的方法除了观察法外，还可以用如下的方法：①求un(x)在区间D上的最大值；②利用已知的不等式；③用泰勒公式、微分中值定理等各种方法变形再放大。

2.定义法

证明：由函数g（x）在D上有界知，存在M＞0，对于任意x∈D，有|g（x）|≤M。

又知∑un(x)在D上一致收敛于s（x），由函数项级数收敛的定义知对于任意ε，存在N。

3.柯西收敛准则

函数项级数∑un(x)在数集D上一致收敛推导出对任意ε＞0，存在N∈N*，任意n＞N，对任意x∈D及任意p∈N*，有sn+p-sn（x）＜ε或|un+1（x）+......un+p（x）＜ε。

（1）推论1：函数项级数∑un(x)在数集D上一致收敛推导出函数列｛un（x）｝在D上一致收敛于0。

（3）该方法通常用于抽象的函数项级数。

（4）用柯西准则判断函数项级数是否一致收敛完全取决于充分大后的“片段”是否能一致的任意小，而无需求出和函数。

4.确界法

（1）这种情况要求函数项级数的部分和函数列｛sn（x）｝和其极限函数s（x）容易求出。

例4，证明函数项级数∑x2(1-x)n在（0，1）上一致收敛。

5.阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

阿贝尔判别法：

（ii）对于每一个x∈D，｛νn（x）｝是单调的；

狄利克雷判别法：

（ii）对于每一个x∈D，｛νn（x）｝是单调的；

（iii）在D上νn（x）一致收敛于0（n→∞），则∑un（x）νn（x）在D上一致收敛。

若要根据阿贝尔判别法和狄利克雷判别法，证明函数项级数一致收敛，关键是将通项写成两个因子的乘积，使之符合判别法的条件：un（x）=an（x）·bn（x）。

6.狄尼定理

设 un（x）≧0，在D上连续，（n=1，2 …），又在D上收敛于连续函数s（x），则∑un（x）在D上一致收敛于s（x）。

（1）方法步骤：判别un（x）≧0（或un（x）≦0），且连续推导出求和函数s（x），推导出判定和函数s（x）在定义域上连续，推导出一致收敛。

（2） 在狄尼定理中，可将un（x）≧0（n=1，2…）改变为“固定x时，各un（x）保持同号（当x变化时，un（x）可以变号）”，结论仍然成立。

四、小结

M判别法、狄利克雷判别法及阿贝尔判别法使用较为方便，但是，M判别法多用于证明绝对一致收敛的函数项级数；狄利克雷判别法和阿贝尔判别法常用于条件收敛的函数项级数。柯西收敛准则在理论上很重要，通常用于证明抽象函数项级数的一致收敛性（M判别法、狄利克雷判别法及阿贝尔判别法即由其推导得到）。在不易使用M判别法、狄利克雷判别法及阿贝尔判别法时，常用确界法，而且确界法不仅可以判别一致收敛，也可以判别非一致收敛。

参考文献：

［1］同济大学大学数学系.高等数学（下册）第7版［M］.北京：高等教育出版社，2014

［2］薛志纯.高等数学［M］.北京：清华大学出版社，2008

［3］同济大学大学数学系.高等数学习题全解指南［M］.北京：高等教育出版社，2007

［4］张选群.医用高等数学［M］.北京：人民卫生出版社，2013

［5］李 忠.高等数学［M］.北京：北京大学出版社，2009

［6］吉米多维奇.数学分析习题集精解（第五册）［M］.山东：山东科学技术出版社，2004

文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2016-04-0220