“直角三角形外接圆截直角平分线”数学模型探究

王云峰（江苏省盐城市葛武初级中学）



“直角三角形外接圆截直角平分线”数学模型探究

王云峰（江苏省盐城市葛武初级中学）

摘要：解数学题的关键是寻找解题思路.从熟悉的数学模型入手是寻找解题思路的一种方法，教师要注意归纳、总结出一些数学模型．“直角三角形外接圆截直角平分线”数学模型在近几年中考试题中频频出现，通过对模型构建、模型变式、模型拓展、模型一般化进行解法探析，为教师的解题教学提供启示，以使学生达到融会贯通的境界．

关键词：角平分线；数学模型；中考应用

数学教育家波利亚曾说过，假如你想从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指引的作用．现介绍“直角三角形外接圆截直角平分线”模型及其变式、拓展、一般化等在解题中的应用，供大家参考．

一、模型构建

题目如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CD平分直角∠ACB交⊙O于点D，试探究线段AC，BC，CD之间的等量关系.

此题解法丰富多彩，限于篇幅，这里仅从变换的角度给出两种典型解法．

图1

思路1：利用轴对称变换，构造全等三角形.

解：（方法1）如图2，过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，连接AD，BD.

因为∠ACB=∠E=∠CFD＝90°，

所以四边形CEDF是矩形.

又由CD平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥BC，

得DE=DF.

所以四边形CEDF是正方形.

图2

因为∠ACD=∠BCD，

于是A（D=B（D.

所以AD=BD.

又因为DE=DF，

所以Rt△ADE≌Rt△BDF.

于是AE=BF.

【评析】遇到角平分线，常利用轴对称变换构造全等三角形．

思路2：利用旋转变换，构造全等三角形.

解：（方法2）如图3，连接AD，BD.

图3

因为∠ACD=∠BCD，

所以AD=BD，且∠ADB=90°.

将△BCD绕点……