一题多解与一题多究

山东省聊城大学数学科学学院　(252000)

姜晓洁*　于兴江



一题多解与一题多究

山东省聊城大学数学科学学院(252000)

姜晓洁*于兴江

一题多解与一题多究可以深入了解题目的设计意图、设计方法，牢固掌握题目相关知识，是中学教师提升自身知识素质的最佳途径.笔者就2015年高考理科数学四川卷第20题为例，进行了多解分析和推广探究,并将本题推广到双曲线和抛物线上，得到了相似的结论.

1　原题呈现

图1

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

2　解法探究

|QD|.因此Q点在y轴上，设Q(0,y0).

图2

图3

以下证明，对任意的直线l，Q(0,2)均满足条件.

如图3，当直线l斜率不存在时，显然成立，以上已证.

当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

图4

解法2:由解法1可知，若存在不同于点P的定点Q，则只能是Q(0,2).以下证明，对任意的直线l，Q(0,2)均满足条件.

3　推广探究

以下证明，对任意的直线l，Q(0,b2)均满足条件.

(a2k2+b2)x2+2a2kx+a2-a2b2=0.

图5

图6

图7

图8

以下证明，对任意的直线l，Q(a2,0)均满足条件.

[1]柳俊婷，于兴江，“圆锥曲线的一个性质”再探究[J].中学数学研究(江西)，2015，11.

[2]李静，于兴江.一道高考题的多解及推广[J].中学数学研究(江西)，2013，12.

[3]孙玉英，于兴江.探究 引申 剖析 启示— 一道高考题的赏析[J].中学数学研究(江西)，2013，10.

[4]柳俊婷，于兴江， 2015年山东理科第20题的多解分析及探究[J].中学数学研究(江西)，2015，8.

* 作者现为2015级硕士研究生.