一道最值问题的推广、完善与另解

江苏省丹阳高级中学　(212300)

史建军



一道最值问题的推广、完善与另解

江苏省丹阳高级中学(212300)

史建军

1.问题的提出

引例已知m,n∈R,m+2n=2,则m·2m+n·22n+1的最小值为：.

本题是2011年苏、锡、常、镇四市高三第二次模拟考试的填空压轴题，难度较大.但如果仔细观察题中式子的结构特征，发现若令p=2n，则条件式化为m+p=2，目标式化为m·2m+p·2p，由于变量m,p在条件式和目标式中的地位相同，可知当m=p时通常取得某个最值.由m=p=1得m·2m+n·22n+1=4,故最小值为4.

上述解法只是基于代数式特征的“特殊值”法，对于一般情形如何求解？

2.问题的解法及推广、完善

2.1问题的解法及推广

参考答案给出了如下解法：

令g(x)=x·2x+(2-x)22-x(x∈R)，∵g(x)=g(2-x),∴g(x)的图像关于直线x=1对称，故求g(x)的最小值只需考虑x∈[1,+∞)的情形.∵g′(x)=2x+x·2xln2-(2-x)22-xln2-22-x=(2x-22-x)+[x·2x-(2-x)22-x]ln2，当x≥1时，x≥2-x,∴2x≥22-x.

(1)若x>2,则(2-x)22-x<0,x·2x-(2-x)22-x>0,∴ln2[x·2x-(2-x)22-x]>0,∴g′(x)>0;

(2)若1≤x≤2,由x≥2-x≥0,∴2x≥22-x，∴x·2x-(2-x)22-x≥0,∴g′(x)≥0;由(1)(2)可得：当x≥1时,g′(x)≥0恒成立,故g(x)在[1,+∞)单调递增,由g(x)图像关于直线x=1对称,g(x)在(-∞,1)单调递减，∴gmin(x)=g(1)=4.因此m·2m+n·22n+1的最小值为4.

上述解法的关键及核心在于构造函数：

g(x)=x·2x+(2-x)22-x,通过研究图像的对称性及函数的单调性进而求得最小值.g(x)结构对称,形式优美,尤其是其图像的对称性及函数单调性让人赏心悦目,解题思路巧妙,结论简明,令人意犹未尽.课后,有学生深入思考后提出了以下结论：

结论1函数g(x)=x·2x+(2k-x)22k-x(k∈R)的图像关于直线x=k对称；

结论2函数g(x)=x·ax+(2k-x)a2k-x(k∈R,a>0且a≠1)的图像关于直线x=k对称；

结论3函数g(x)=x·ax+(2k-x)a2k-x(k∈R,a>0且a≠1).则

当a>1且k>0时,g(x)在(-∞,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,故gmin(x)=g(k)=2k·2k.

当0

2.2对推广结论的证明

结论1及结论2的证明很简单，对于结论3，学生给出了如下证明：

证明：当a>1且k>0时，∵g(x)的图像关于直线x=k对称，故求g(x)的最小值只需考虑x∈[k,+∞)的情形.∵g′(x)=(ax-a2k-x)+[xax-(2k-x)a2k-x]lna,当x≥k时，x≥2k-x,又a>1,∴ax≥a2k-x.

(1)若x>2k,则(2k-x)a2k-x<0,∴x·ax-(2k-x)a2k-x>0,∴[x·ax-(2k-x)a2k-x]lna>0,∴g′(x)>0;

(2)若k≤x≤2k,由x≥2k-x>0,∴ax≥a2k-x，∴x·ax-(2k-x)a2k-x≥0,∴g′(x)≥0;由(1)(2)可得:当x≥k时,g′(x)≥0恒成立,故g(x)在[k,+∞)递增,由g(x)图像关于直线x=k对称,g(x)在(-∞,k)递减,∴gmin(x)=g(k)=2k·ak.当0

当x≤k时，x≤2k-x,又00,∴x·a2k-x≤(2k-x)a2k-x,∴x·ax≤(2k-x)a2k-x，∴[x·ax-(2k-x)a2k-x]lna≥0,∴g′(x)≥0;故g(x)在(-∞,k]递增,g(x)图像关于直线x=k对称,g(x)在(-∞,k)递减,∴gmax(x)=g(k)=2k·ak.

上述证明过程及结论无疑是正确的，但学生同时提出：当a>1且k<0以及00时有没有类似于结论3的结论？

结构如此对称的函数，理应有与结论3完全相同的“完美”结论,但仔细研究结论3的证明过程却发现,上述方法对于a>1且k<0以及00时的两种情形无能为力，遗憾的同时，又无法释然.经过师生的共同探究，发现结论3尚不“完美”，可进一步加以完善.

2.3对结论3的完善

当a>1时，

图1

图2

㉓T．Austin Lacy，David A．Tandberg，“Rethinking policy diffusion:the interstate spread of‘Finance Innovations’”，Research High Education，2014，55，pp．627 ～649．

图3

当a>1时，

上述结论表明,函数g(x)=x·ax+(2k-x)a2k-x

对于k∈R，当a>1及0

3.对本题解法的进一步研究

其中“=”当且仅当a1=a2时成立.

观察引例的结构发现，其不过是定理1的特例而已：

其中“=”当且仅当m=2n=1时成立.

上述“=”当且仅当a1=a2=…=an时成立.