运用整体思想巧解数学题

龚　勤

(湖南省岳阳市第一中学，414000)



○解题研究○

运用整体思想巧解数学题

龚勤

(湖南省岳阳市第一中学，414000)

有很多数学问题,如果我们有意识地放大考察问题的“视角”,往往能发现问题中隐含的某个“整体”,利用这个“整体”对问题实施调节与转化,常常能使问题快速获解.一般地,我们把这种从整体观点出发,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题思想方法,称为整体思想方法.它是通过研究问题的整体形式、整体结构,并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法.运用整体思想,可以理清数学学习中的思维障碍,可以使繁难的问题得到巧妙的解决．它是数学解题中一个极其重要而有效的策略,是提高解题速度的有效途径．

一、整体补形

(A)40(B)80

(C)160(D)240

分析若按常规方法利用体积公式求解,底面积可用海伦公式求出,但顶点到底面的高无法作出,自然无法求出．若能换个角度来思考,注意到三棱锥的有三对边两两相等,若能把它放在一个特定的长方体中,则问题不难解决．

解析把三棱锥P——ABC补成一个长方体AEBG——FPDC,易知三棱锥P——ABC的各边分别是长方体的面对角线．不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知，有

解得x=6,y=8,z=10.从而知

VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG

-VB-PDC-VA-FPC

=VAEBG-FPDC-4VP-AEB

=160.

二、整体补式

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．

解令A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20° ·sin50°，则

A+B=2+sin70°,

①

②

三、整体构形

例3已知 x,y,z∈(0,1),求证:

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

分析观察到x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘积式,联想到用面积公式．

四、整体代换

解设u=cosx+cosy,将已知式与待求式两边平方得

①

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y．

②

①+②，得

因为-2≤2cos(x-y)≤2,

点评利用整体代换构建不等式也是求解此类问题的最基本的方法．

分析……