基于ENO格式的二维水流水质耦合模型数值模拟

章　钦

（河海大学文天学院，安徽马鞍山243031）

基于ENO格式的二维水流水质耦合模型数值模拟

章钦

（河海大学文天学院，安徽马鞍山243031）

应用高精度ENO（Essentially Non-oscillatory Schemes）格式结合有限体积法在非结构三角形网格上建立耦合型二维水流-水质的数学模型，采用Roe格式求解跨单元边界的法向通量.用Fortran语言进行编程计算，并采用该模型模拟污染物随溃坝水流的流动变化.模拟结果表明ENO格式精度高，稳定性好，为工程领域中的水流水质问题的处理提供了依据，具有较高的实用价值.

ENO格式；有限体积法；非结构网格；数值模拟

水流水质模型是工业污废水对水环境影响评价的重要技术方法之一.近段时间以来,众多学者做了大量的研究工作,提出了多种研究水质模型方法,其中包括有限差分法[1,7]、有限单元法[3,11]、特征线法[4]及有限体积法[5,12]等等.有限体积法是近些年来发展起来的一种有效方法.本文在前人研究基础上应用高精度ENO格式建立平面二维水流-水质耦合模型，在非结构三角形网格上对控制方程进行积分，利用有限体积法对方程组进行数值求解，模拟得出水流运动过程以及污染物输运扩散过程.模型应用高精度ENO格式，以提高数值模拟精度.模型模拟了污染物随溃坝水流的输运变化，模型计算结果与实际情况相符合，为实际工程水流水质的影响评价提供了依据.

1　控制方程组及求解方法

1.1控制方程组

二维浅水控制方程及污染物对流—扩散方程表达形式如下：

其中：g为重力加速度；h为水深；u、v为x、y方向的水平流速分量；Sox、Soy分别为x、y方向上的水底坡度；Sfx=分别为x、y方向的摩阻底坡；S为污染物的源汇项；Dx、Dy分别为x、y方向污染物的扩散系数；C为污染物（COD、BOD等）的垂线平均浓度.

1.2Roe格式求解法相通量

跨单元边界的法向通量的计算用Riemann间断问题的Roe解法：

界面两侧变量值用ENO格式进行组合重构.

1.3ENO格式重构

在非结构网格中，ENO格式的构造较为复杂，现考虑一阶ENO多项式的构造，如图1，在单元1中构造一个线性多项式，设构造的多项式为：

以单元1,2,3构造为例,记：s={Δ1,Δ2,Δ3},

令Pl(x,y)=ul(x,y)，l=1,2,3可得：

其中：α=(a,b,c)T，U=(u1,u2,u3)T

如果矩阵A可逆，则方程（3）有唯一解，一般情况下矩阵A都是可逆的.由Gramer法则求出多项式系数a,b,c为

取点(x,y)为单元1边中点坐标时

同理，以单元2,3,4为主单元构造多项式来求得相应的uR

为了保证选取多项式“最光滑”性，在构造3个多项式中，我们选取|a|+|b|最小的一个，该格式具有二阶精度.

图1　ENO格式所用的控制单元

1.4时间离散

采用三阶TVD—Runge Kutta法对时间项进行离散，具体格式如下：

其中L(u)是ut=-f(u)x-g(u)x的逼近.

2　数值算例

方形浓度场随二维溃坝水流输运变化问题：考虑在200m×200m的计算区域，利用大坝将水库一分为二，初始时刻上游水库水深为10m，下游水库水深5m，在上游60m＜x＜80m,80m＜y＜120m区域内给定一均匀浓度场d=0. 25g/m3.大坝距水库一边25m处，瞬间有一段80m长的坝体倒塌，通过计算模拟出溃坝后水流运动以及污染物随水流输运变化特点.

本文采用ENO型、分片常数型Roe格式对浅水方程及污染物输运方程进行数值离散.T=7.0s时的模拟结果见图1-4.

图1　ENO型格式水位分布

图2　分片常数型格式水位分布

图3　ENO格式浓度变化图

图4　分片常数格式浓度变化图

本文运用两种不同的精度格式模拟溃坝水流及污染物随水流的变化情况，通过图1、2溃坝口附近的水位等高线图分布我们可以看出ENO型Roe格式能够较好的捕捉低水位间断.通过图3、4可以看出污染物随溃坝水流流动的变化情况，ENO型Roe格式能够很好的模拟水流水质的变化.

3　结论

本文基于高精度ENO格式和分片常数型格式在非结构三角形网格上结合有限体积法对二维水流—水质耦合方程组进行离散，结果显示出溃坝水流水位分布及污染物浓度随其变化特征.能够用于二维水流水质耦合问题的模拟，可为实际工程提供依据.

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〔3〕朱华君，赵松和.二维浅水波方程的非结构网格ENO型有限体积法[J].湖南师范大学自然科学学报，2007，30(1)：21-26.

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2015-12-28