如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题

黄忠源

（福建省泉州实验中学）

如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题

黄忠源

（福建省泉州实验中学）

高考对抽象函数的考查中经常结合对称性与周期性一同考查，下面我们看看函数的对称性与周期性究竟有什么样的关系？

若函数f（x）的图象关于直线x=a对称，也关于直线x=b对称，则f（x）是以T=2|a-b|为周期的周期函数.

证明：因为f（x）的图象关于直线x=a对称，所以有f（a+x）= f（a-x）即f（2a+x）=f（-x），同理f（2a+x）=f（-x）。所以有f（2b+x）= f（2a+x），即有f（x）=f（x+2a-2b）.

所以，函数f（x）是以T=2|a-b|为周期的周期函数.

定理1：一般的我们有，若函数f（x）满足对于任意的实数x都有f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）都成立（其中a≠b），即函数f（x）的图象关于两条直线x=a和x=b都对称，则f（x）是周期函数，且周期是T=2|b-a|.

同样的思路我们也可以得出：

定理2：若函数f（x）的图象关于直线x=a对称，关于点（m，0）（其中a≠m）中心对称，那么函数f（x）是周期函数，且周期是T= 4|a-m|.

证明：因为f（x）关于直线x=a对称，所以有f（a+x）=f（a-x），即有：f（x）=f（2a-x）

又f（x）关于点（m，0）对称，所以有式子f（m+x）=-f（m-x）成立，即有：f（x）=-f（2m-x）

由上述两个式子得到：f（2a-x）=-f（2m-x），即有：f（x）= -f（x+2a-2m）

令x为x+2a-2m，所以又得到f（x+2a-2m）=-f（x+4a-4m）

所以有：f（x）=-f（x+4a-4m）

所以f（x）是周期函数，且周期是T=4|a-m|.

推论：若f（x）函数的图象关于直线x=a（a≠0）和原点O对称，则函数f（x）是周期函数，且周期为T=4|a|.

定理3：若函数f（x）的图象关于点（n，0），关于点（m，0）（其中n≠m）中心对称，那么函数f（x）是周期函数，且周期是T=2|n-m|.

证明：由f（x）的图象关于点（n，0）对称，得到f（n-x）=-f（n+x），

即：f（x）=-f（2n-x）

同理可得：f（x）=-f（2m-x）

所以有f（2n-x）=-f（2m-x），即：f（x）=f（x+2n-2m）

所以f（x）是周期函数，且周期是T=2|n-m|.

经过上面的分析我们知道，一个函数只要关于两条直线，或者两个点，或者一条直线一个点对称，那么这个函数一定是周期函数，熟悉地理解上述3个定理有助于我们快速解答高考题.

下面举两……