巧用极端化情形解决与点的坐标相关的取值范围问题

☉浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学　徐　骏

巧用极端化情形解决与点的坐标相关的取值范围问题

☉浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学徐骏

在近几年的中考中，以平面直角坐标系为背景的与点的坐标相关的取值范围问题层出不穷.此类问题以能力立意，常涉及转化、数形结合、方程、函数和分类讨论等数学思想方法，能有效地考查学生在数学活动过程中所表现出来的思维水平，因而备受各地中考命题者的青睐.解答此类问题需用极端化思想对条件的某种极端状态进行考查，进而探明解题方向.尽管此类试题对解答过程往往不作要求，但对初中生的思维能力要求较高，不少学生遇到这类题目往往束手无策.本文以近5年中考试题为例进行归类剖析，供参考.

一、点在反比例函数图像上

图1

图2

解析：易得B（0，2），k=-4，直线BC的解析式为y= -2x+2.

点评：解决此类问题的关键是先利用轴对称性设法寻求两个角相等时的极端情形，即求出一个点关于某条直线的对称点坐标，再结合图形得出符合角度大小关系的相应坐标的取值范围.

综上，当0＜a＜2或

二、点在圆上

例2（2014年天津市，有改动）如图3，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），E、F分别为OA、OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α.若直线AE′与直线BF′相交于点P，则点P的纵坐标的取值范围是_______.

图3

解析：易证AE′⊥BF′.如图4，点P在以D为圆心，半径为的圆上运动.当D、E、P三点共线，即点P为⊙D与射线DE的交点时，此时点P的纵坐标的值最小.因为……