排水口旋涡的压强与速度分布

方爱平　田蓬勃　孙迪昊　牛斯隽　朱明辉　魏明华　喻有理　王小力（西安交通大学理学院，陕西西安 710049）

物理与工程

排水口旋涡的压强与速度分布

方爱平田蓬勃孙迪昊牛斯隽朱明辉魏明华喻有理王小力
（西安交通大学理学院，陕西西安 710049）

本文对自由表面液体在重力作用下形成排水旋涡的性质进行了研究，分析了当旋涡达到稳定状态时内部速度与压强的分布，并由此确定了旋涡产生的凹陷液体上表面形状.本文用类似兰金涡模型的思想，以一临界半径为界线，半径以外采用自由旋涡模型，在靠近涡心处使用等角速度模型以避免奇点的出现.这一模型可以给出旋涡内部的压强和速度分布规律，能定性解释不同粘度流体形成旋涡形状的差异.

自由旋涡；兰金涡；点汇；点涡

生活中，当一些容器由下方排水孔排水时，在一定条件下，排水孔上方会出现水流的旋转运动，转动较剧烈时，液面会下凹，形成一个旋涡.这种排水涡旋的具体形成机制较为复杂，其具体原因不在本文讨论范围之内.本文主要探究旋涡进入稳定状态（排水中期，旋涡随时间几乎不发生形态变化）时，液体内部的压强、速度分布及液体表面形态.

1　自由旋涡模型

自由旋涡模型在计算中不考虑粘滞阻力的影响，仅从流体的动力学出发，在一定范围下可以对旋涡进行描述.

1.1二维的自由旋涡流动

相比于三维流动，二维平面上的速度分布更容易求解，现考虑二维平面上的排水旋涡，在极坐标极点设一排水口，液体一边绕极点旋转流动，一边汇入极点.

对于较为复杂的二维平面势流，可以表示为一些简单平面势流的线性叠加.一般情况下，认为平面的自由汇聚旋涡可以看作是点汇平面势流（如图1所示）和点涡平面势流（如图2所示）的叠加［1］.

点汇势流中，液体流线均指向极点，等速度面为同心圆，液体沿径向流入极点排水口，无旋转运动.由于流体的不可压缩性，假设单位时间由极点排出的流量为Q［1］，其基本属性可描述为

速度势函数：

流函数：

速度分布：

图1 点汇势流（左）和点汇速度场分布图（右）

图2 点涡势流（左）和点涡速度场分布图（右）

点涡势流中，液体不作径向方向的流动，流线为圆心位于极点的同心圆族.根据亥姆霍兹定理，其每一条流线的速度环量（点涡强度）为一定值，设为Γ（这里忽略了粘性作用）［1］.其基本属性可描述为

速度势函数：

流函数：

速度分布：

将点汇与点涡的速度分布进行叠加，就可以得到二维平面排水旋涡的速度场分布

其分布图如图3所示.

图3 二维排水旋涡速度场分布

1.2 三维的自由旋涡流动

对于三维的流动情况，液体将一边在水平面内作涡旋流动，一边受重力向下运动至出水口流出（如图4左图所示）.若在某一半径处取一个环形柱面，则该柱面上的流量等于排水孔流量，并且重力的作用只对竖直方向的速度产生影响，因而认为流体内部的水平面的速度分布与二维流动的情形一致，即

图4 三维旋涡（左）和三维旋涡微元（右）

由上述结论，我们可以得出一个推论，在流体中取一小微元（如图4右图所示），其径向方向流入量等于流出量，即Q1=Q2，由于Vθ与θ无关，故与转动方向正交的两个平面的流入量之和为零，即Q3=Q4，由此可以推出

则三维流动的速度分布满足

根据方程（12）～（14），可以绘制出速度场图像（如图5所示）.

图5　三维旋涡速度场分布

1.3三维自由旋涡内的压强分布

不考虑粘滞阻力的情况下，流体内部的压强是空间位置的函数，在柱坐标系下可写为p= p（r，θ，z），其微分表达式为

在相对静止流体中，单位质量流体所受的重力、惯性力与压力相平衡［1］，即

其中，g为重力加速度，a为惯性加速度，p为流体密度.在柱坐标系下各分量表达为

根据之前求得的速度场分布式（12）～式（14），可以计算出各点的加速度表达式

将式（20）～式（22）代入式（17）～式（19），可得压强各分量的偏导数

积分可得

其中，C为待定常数，设原流体平面为z轴零点，则当r→∞时，p→p0（p0为液体表面大气压），从而可以确定C=p0，压强表达式为

该公式即描述了液体内部的压强分布情况.

1.4三维自由旋涡的上表面形态

根据压强分布式（26），可以绘制等压强面.而液体上表面即为p=p0的等压面，代入压强分布表达式（26），可得等压强曲面方程为

荔枝 性温、味甘、酸，具有补脾益肝、生津止渴、解毒止泻等功效。荔枝可改善人的肝肾功能，加速人体内毒素的排出，有促进人体细胞的生成以及保持皮肤细嫩等作用。

由此可以得到三维自由旋涡上表面图（如图6所示）.

图6　三维自由旋涡上表面

从图6中可以看出，该模型较好地模拟出了液体旋涡的表面凹陷，并且描述其中心空气管会伸向无穷远即伸出排水口.但是在涡心r=0处速度为无穷大是不合理的，因而在半径较小处该模型会失真［1，2］.但是对于低粘度流体，这种效应的影响不明显.

2　等角速度转动模型对靠近涡心处的修正

2.1兰金涡模型［2-4］

兰金涡是一种旋涡模型，认为旋涡是自由涡与强迫涡的复合，提出了涡核半径rm的概念.在内区域内区（r≤rm），有旋流，属强迫涡运动；外区（r＞rm），无旋势流，各圆周上Γ相等，属于自由涡运动（如图7所示）.

兰金涡模型也是一种广为应用的旋涡模型，但其并不能用来描述排水旋涡，因为其未考虑水流的径向速度.但是该模型引入了涡核半径的概念，并以此为界线，使用两个不同的模型描述旋涡，避免了涡心处速度为无穷大的荒谬结论.将这一方法应用于本文进一步修正上述自由旋涡模型在涡心处的奇异情形.

图7　兰金涡示意图［2-4］

2.2等角速度转动模型

由于自由旋涡模型中并未考虑粘滞阻力的影响，而事实上靠近涡心处，液体的速度较大，粘滞阻力已经成为一个不可忽略的因素.在粘性阻力的限制下，液体的角速度会有一个上限.因而，不妨设一临界半径r0（如图8所示），当r≤r0时，液体达到粘性阻力限制下的最大角速度，因而在内部做等角速度转动，径向速度为零.而当r＞r0时，仍忽略粘性阻力的影响，采用自由旋涡模型.

图8　三维旋涡图

2.3等角速度转动模型的速度与压强分布［1，5］

等角速度转动模型如图9所示，一圆柱形容器绕轴线以角速度ω转动，内盛粘性流体，当达到稳定状态后液体将呈现等角速度转动，液面也将下凹.此时的速度分布有

图9　等角速度转动模型

其中，z′坐标的零点取在下凹表面的最低点.

考察其上表面形状，令p=p0，则曲面方程为

为一旋转抛物面形.

2.4等角速度模型在涡心处的修正

引入一个临界半径r0（其取值会与液体粘度和排水孔的大小相关），分别在临界半径两侧应用自由旋涡模型和等角速度转动模型，并认为半径内的液体是在r0液体层的驱动下做等角速度转动.因而其速度分布与压强分布都是一个分段函数.其液体上表面也是两个曲面的拼接，计算结果如图10所示.

可以看出，该模型修正了涡心处的情形，有了较合理的解释，同时，给出了高粘度流体在形成旋涡时，液体上表面是一个封闭曲面，而不会总有空气管伸入排水口的情形发生.

图10　涡心修正后的液体上表面形态

3　总结与应用展望

本文提出的三维自由旋涡理论对低粘度下非靠近涡心的情形有较好的描述，但是其在中心点将失去意义.而本文引入一个临界半径，利用粘性作用下的等角速度转动模型，可以避免中心点的奇异性，并对于粘度较高的流体旋涡也能进行一定的解释.

但到目前为止，实验对于理论的验证还处于定性的层面，该理论的准确性还需要通过实验精准地测定流体内部压强与速度分布，以对不同粘度流体的情形.本文未给出临界半径r0的经验公式，同样，需要大量的实验进行精准的测定.

旋涡是实际中很常见的一种现象，在工业中有一定的危险性，因为旋涡的形成会减少进流量、降低流量系数；引起机械振动；降低机组效率，强烈的吸气旋涡可降低机组工作效率；卷吸水面漂浮物、造成拦污栅堵塞或损坏［1］.因而旋涡的研究意义重大，还有许多问题值得深入的研究与探索.

［1］ 景思睿，张鸣远.流体力学［M］.西安：西安交通大学出版社，2001.

［2］ 杜敏.进水口漩涡形成机理及缩尺效应.天津大学建筑工程学院，博士论文，2008.

［3］ 赵永志，顾兆林，郁永章，等.盆池涡涡动过程数值研究［J］.水利学报，2002（12）：1-6.

［4］ 赵永志，顾兆林，郁永章，等.自由水涡结构及运动特征的数值研究［J］.西安交通大学学报，2003（1）：85.

［5］ 黄楚迪，王奔，卢志健，等.暗流和漩涡的压强分布简化物理模型研究［J］.科技创新导报，2013（24）：67-70.

DISTRIBUTION OF PRESSURE AND VELOCITY IN THE VORTEX APPEARING NEAR A DRAIN

Fang Aiping Tian Pengbo Sun Dihao Niu Sijun Zhu Minghui Wei Minghua Yu Youli Wang Xiaoli
（School of Science，Xi，an Jiaotong University，Xi，an，Shaanxi 710049）

The research aims at the property of the vortex appearing near a drain in gravitational field.Due to the analysis of the distribution of pressure and velocity in a stable vortex，the shape of its surface can be determined as a concave surface.Similar to the thought of Rankine vortex model，two vortex models are used in the article，divided by a critical radius.Free vortex model is used to simulate the vortex outside the radius.Near the core of the vortex，constant angular velocity model is adopted to avoid the singularity.These models show the patterns of pressure and velocity distribution in a vortex，and explain qualitatively the differences between the shapes of vortexes in liquids with various coefficients of viscosity.

free vortex；Rankine vortex；point sink；point vortex