偏序集上的Fuzzy蕴涵代数及其性质

王昭海，吴洪博

( 1.安康学院 数学与统计学院，陕西 安康　725000;2.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安　710062)



偏序集上的Fuzzy蕴涵代数及其性质

王昭海1，吴洪博2

( 1.安康学院 数学与统计学院，陕西 安康725000;2.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安710062)

给出了偏序集上的Fuzzy蕴涵代数的概念，讨论了它的性质，并证明它在满足一定条件下可构成MV代数，也可构成FuzzyR0代数。

偏序集；蕴涵代数；性质

在偏序集上的蕴涵代数的基础上，给出了Fuzzy蕴涵代数的概念，研究了它的性质。说明了它在条件(x→y)→y=(y→x)→x成立时，也构成FuzzyR0代数。

1　Fuzzy蕴涵代数

定义1设X是一个非空集合，≤为X上的一个偏序关系，其中0，1分别为X中的最小元和最大元，→是定义于X上的二元运算，使得(X,→，0)成为一个(2，0)型代数，如果对于任意x,y,z∈X,二元运算→对于偏序关系≤满足

①x→(y→z)=y→(x→z)，

②x≤y当且仅当x→y=1，

则称(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，简称为Fuzzy蕴涵代数。

性质1设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，则对于任意x,y∈X,下面性质成立：

(P1) 0→x=1；

(P2)x→1=1；

(P3)x→x=1；

(P4) 若1→x=1，则x=1；

(P5) 若x→y=y→x=1，则x=y；

(P6) 1→x=x；

(P7) 若x→0=1，则x=0；

(P8)x≤(x→y)→y；

(P9)y≤(x→y)→y；

(P10)x≤(x→y)→x；

(P11)x→y≤((x→y) →y) →y；

(P12)x→(y→0)=y→(x→0)；

(P13)x≤y→z当且仅当y≤x→z；

(P14)x→(y→x)=1。

定义2[1]设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，在满足条件(x→y)→((y→z)→(x→z))=1,称(X,→，0)为蕴涵代数。

性质2设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蕴涵代数，则(X,→，0)是Fuzzy蕴涵代数。

引理1[1]设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蕴涵代数，则对于任意x,y,z∈X，

① 若x≤y,则y→z≤x→z,z→x≤z→y；

② ((x→y) →y) →y=x→y

定义3设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，在X上定义一个一元运算﹁，使得对于任意x∈X,﹁x=x→0,则称﹁为补算子，如果﹁还满足﹁﹁x=x，则称(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正则Fuzzy蕴涵代数。

引理2设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，则

① (X,→，0)是正则的，当且仅当对于任意x，y∈X，x→y′=y→x′。

② (X,→，0)是正则的，当且仅当对于任意x，y∈X，x→y=y′→x′。

③ 若(X，≤)构成格，∨，∧分别为其上确界和下确界，则

(i)x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),

(ii) De Morgan对偶律成立，即(x∨y)′=x′∧y′,(x∧y)′=x′∨y′。

证明①，②显然成立。现在证③：由(P8)、(P9)得，x≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),同理y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),所以x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x)。

由于′是逆序对合对应，所以De Morgan 对偶律成立。

性质3设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正则蕴涵代数，若(X，≤)构成格，则对于任意的x,y,z∈X，有x→y≤x∨z→y∨z，x→y≤x∧z→y∧z。

证明由性质1中(P8)、(P9)及引理1得：x≤(x→y)→y≤(x→y)→y∨z,z≤(x→y)→z≤(x→y)→y∨z，因此x∨z≤(x→y)→y∨z，所以由(P13)得x→y≤x∨z→y∨z。又因为(X,→，0)是正则的，由性质2和引理2中的②可得，x∧z≤(x→y)→y∧z。再由(P13)得：x→y≤x∧z→y∧z。

2　Fuzzy蕴涵代数与几种代数的关系

性质4设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数且满足条件：对于任意x,y∈X,

(＊)

在X中，记x′=x→0，则(X，≤)构成格,上、下确界分别由下面的性质⑦和⑧中的两个等式确定，而且(X,→,0)有以下性质：

① (x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

② (y→z)→((x→y)→(x→z))=1；

③ 若x≤y,则y→z≤x→z,z→x≤z→y；

④ ((x→y)→y)→y=x→y；

⑤ ′是逆序对合对应；

⑥x→y=y′→x′；

⑦x∨y=(x→y)→y；

⑧x∧y=((y→x)→y′)′；

⑨ (x→y)→(x→z)=x∧y→z；

⑩ (x→y)→(z→y)=z→x∨y；

证明

(i) 由(P14)和条件(＊)得：(x→y)→((y→z)→(x→z))= (x→y)→(x→((y→z)→z))= (x→y)→(x→((z→y)→y))= (x→y)→((z→y)→(x→y))=1，所以①成立。再由定义1可得②、③成立。

(ii) 由条件(＊)可得：((x→y)→y)→y=(y→(x→y))→(x→y)= (x→(y→y))→(x→y)= (x→1)→(x→y)=1→(x→y)=1，故④成立。

(iii) (x′)′=(x→0)→0=(0→x)→x=1→x=x,当x≤y时,由③得，y→0≤x→0,即y′≤x′。又由引理2可知⑤、⑥成立。

(iv) 由x≤(x→y)→y,y≤(x→y)→y得,(x→y)→y是x,y的上界，且x∨y≤(x→y)→y。下面证明，若x≤t,y≤t,则(x→y)→y≤t。事实上(x→y)→y≤t当且仅当((x→y)→y)→t=1。只须证((x→y)→y)→t=1。由③和④得：((x→y)→y)→t=((x→y)→y)→(1→t)=((x→y)→y)→((y→t)→t)=((x→y)→y)→((t→y)→y)=(t→y)→(((x→y)→y)→y)=(t→y)→(x→y)≥x→t=1。因此,((x→y)→y)→t=1。即(x→y)→y是x,y的最小上界，也就是上确界，即x∨y=(x→y)→y，故⑦成立。 再由⑤、⑥得：x∧y=(x′∨y′)′=((x′→y′)→y′)′=((y→x)→y′)′是x,y的最大下界，即是下确界。同时⑧也成立。所以，(X，≤)是格。

(v) 由⑤、⑥得，(x→y)→(x→z)=(y′→x′)→(z′→x′)=z′→((y′→x′)→x′)=z′→y′∨x′=z′→x′∨y′= (x′∨y′)′→z=x∧y→z，所以⑨成立。

(vi) 由条件(＊)得，(x→z)→(y→z)=y→((x→z)→z)=y→x∨z，所以⑩成立。

性质5设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数且满足条件(＊)，则(X,→，0)是(正则)蕴涵代数。

性质6设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数且满足条件(＊),若在X上定义一元运算′和二元运算⊕使得对于任意x，y∈X,x⊕y=x′→y,x′=x→0,则：

① (X,⊕,′,0)构成一个MV代数；

② (X，≤)构成一个分配格。

证明

1) 由于x⊕y=x′→y=y′→x=y⊕x，x⊕0=x′→0=0′→x=1→x=x，(x⊕y) ⊕z=(x′→y)′→z=z′→(x′→y)=x′→(z′→y)=x′→(y′→z)=x⊕(y⊕z)，所以(X,⊕,0)是以0为单位的交换半群。

x⊕0′=x′→0′=0→x=1=0′

由性质3中的⑤知，(x′)′=x。

由条件①得,(x′⊕y)′⊕y= (x→y)→y=(y→x)→x=(y′⊕x)′⊕x。所以(X,⊕,′,0)构成一个MV代数。

2) 由于(X，≤)构成一个格，x∨y=(x→y)→y和x∧y=((y→x)→y′)′分别是它的上、下确界。下面再证明x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)成立。因为x∧y≤x∧(y∨z)，x∧z≤x∧(y∨z)，则(x∧y)∨(x∧z) ≤x∧(y∨z)。反过来,由性质2、3和定义1中②得：x∧(y∨z)→(x∧y)∨(x∧z)≥(x∧(y∨z)→x∧y)∨(x∧(y∨z)→x∧z)≥(y∨z→y)∨(y∨z→z)=1，故x∧(y∨z)→(x∧y)∨(x∧z)=1，即x∧(y∨z)≤(x∧y)∨(x∧z)。所以x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)，说明(X，≤)构成分配格。

性质7设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数且满足条件(＊)，对于任意x，y∈X，若定义﹁x=x′=x→0,x∨y=(x→y)→y，则(X,﹁,∨，→)构成一个FuzzyR0代数。

证明因为对于任意x，y，z∈X,x∨y=(x→y)→y，故运算﹁,∨，→的定义是合理的。(y→z)≤(x→y)→(x→z),且﹁是逆序对合对应。

下面证明(R5)x→y∨z=(x→y)∨(x→z)成立。

由性质3的(2)和条件(＊)得，

(x→y∨z)→(x→y)∨(x→z)=

(x→y∨z)→(((x→y)→(x→z))→(x→z))=

(x→y∨z)→((x∧y→z)→(x→z))=

(x→y∨z)→(x→(x∧y)∨z)=

x∧(y∨z)→(x∧y)∨z=

(x∧y)∨(x∧z)→(x∧y)∨z=1，则(x→y∨z)→(x→y)∨(x→z)=1，即x→y∨z≤(x→y)∨(x→z)。

又x→y≤x→y∨z且x→z≤x→y∨z，故，(x→y)∨(x→z)≤x→y∨z，所以x→y∨z=(x→y)∨(x→z)。

再证(R6)也成立。由(R5)和性质4得：

x∧y→z=z′→(x∧y)′=

z′→x′∨y′=(x→y)∨(x→z)

所以

(x→y)∧(x→z)→(x→y∧z)=

(x→y∧z)′→((x→y)∧(x→z))′=

(x→y∧z)′→(x→y)′∨(x→z)′=

((x→y∧z)′→(x→y)′)∨((x→y∧z)′→

(x→z)′)=((x→y)→(x→y∧z) )∨

((x→z)→(x→y∧z) )≥(y→y∧z) ∨

(z→y∧z)=1

故(x→y)∧(x→z)→(x→y∧z)=1，即(x→y)∧(x→z)≤x→y∧z。

反之，x→y∧z≤x→y，x→y∧z≤x→z，可得x→y∧z≤(x→y)∧(x→z)，则x→y∧z=(x→y)∧(x→z)。

由上面的分析知(X,﹁,∨，→)显然构成一个FuzzyR0代数。

[1]李志伟.偏序集上的关联蕴涵代数[J].模糊系统与数学,2002(16):99-102.

[2]李志伟.偏序集上的关联蕴涵代数的性质[J].首都师范大学学报,2003,24(2):15-18.

[3]刘练珍,王国俊.Fuzzy蕴涵代数与MV代数[J].模糊系统与数学,1998,12(1):20-25.

[4]王国俊．数理逻辑与归结原理引论[M]．北京：科学出版社，2003.

[5]王国俊.非经典数理逻辑与近似推理[M].北京:科学出版社,2003.

[6]裴道武.剩余格与正则剩余格的特征性质[J].数学学报,2002,45(2):271-278.

[7]CHANG C C.Algebraic analysis of many value Logic[J].Trans Amer Soc,1958,87(1):1-53.

[8]PAVELKA J.On Fuzzy logic(II)[J].Z.Math.Logik Grund.Math.,1979,25(1):119-134.

(责任编辑何杰玲)

Poset on Fuzzy Implication Algebras and Their Properties

WANG Zhao-hai1, WU Hong-bo2

(1.School of Mathematics and Statistics,Ankang University, Ankang 725000, China;2.School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China)

Poset was given on the concept of Fuzzy implication algebra and the nature of it was discussed. And we proved that it constitutes MV algebra under satisfying certain conditions, and also constitutes a FuzzyR0algebra.

poset; implication algebra; property

2016-01-09

陕西省教育厅科研计划项目资助((15JK1012)

王昭海(1966—)，男， 陕西安康人，硕士，副教授，主要从事从事模糊数学和非经典数理逻辑的研究，E-mail:akwzh@163.com。

format：WANG Zhao-hai, WU Hong-bo.Poset on Fuzzy Implication Algebras and Their Properties[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):148-151.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.024

O141.1

A

1674-8425(2016)08-0148-04

引用格式：王昭海，吴洪博.偏序集上的Fuzzy蕴涵代数及其性质[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(8):148-151.