Landau定理中上界的一个改进

郭辉，李文华

（深圳大学数学与统计学院，广东 深圳　518060）

Landau定理中上界的一个改进

郭辉，李文华

（深圳大学数学与统计学院，广东 深圳518060）

通过相关文献给出的穿孔平面C{0，1}的双曲度量的密度函数的新的下界估计，借助广义Schwarz引理我们对Landau定理中关于上界做了进一步改进并得到了一个带参数的上界表达式.并且当参数取到0时，此结论正好为相关文献得到的结果.

Landau定理；全纯函数；Poincar´e度量

1　引言

记∆={z：|z|＜1}为单位圆，C{0，1}为穿孔平面，和ρ0，1(z)为穿孔平面双曲度量的密度函数.众所周知，Landau定理是复分析的一个重要的经典定理.设函数f(z)在单位圆∆内全纯，且不取0和1，并在原点有展式：f(z)=a0+a1z+a2z2+...，Landau定理断言：存在一个与f无关的常数C使得

(1.1)式中常数C被称为Landau常数.人们试图给出其最佳值.经过多年不断努力，最终在20世纪70年代末80年代初，先后由赖万才[1]，Hempel[2]和Jenkins[3]彼此独立地给出了C的精确值：

其证明方法各有不同.

尽管如此，Landau定理的显式估计形式仍有改进的余地.1992年，李忠教授[4]在 Ahlfors[5]，Hempel[2]及 Minda[6]等人的基础之上，给出了穿孔面 C{0，1}上双曲度量的密度函数ρ0，1(z)的新下界，并由此得到(1.1)式的一种改进形式，其结论(见文献［4］中定理1)如下：

定理 1.1设函数f(z)在单位圆∆内全纯，且不取0和1，并在原点有展式：

则存在一个绝对常数m＞0使得下述估计式成立：

其中C是由(1.2)式决定的常数，而

(1.3)式中的等号当且仅当f是C{0，1}的全纯覆盖映射且a0=-1时成立.

本文通过李忠教授(见文献［4］中定理2)给出的穿孔平面C{0，1}的双曲度量的密度函数新的下界估计，借助广义Schwarz引理我们对定理A中关……