β级α型Bazileviˇc函数的对数系数

牛潇萌，李书海

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古 赤峰　024000）

β级α型Bazileviˇc函数的对数系数

牛潇萌，李书海

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古 赤峰024000）

利用从属关系给出|(g(z)/f(z))α|的估计.运用构造一个非负函数和对复变函数模的积分进行估计的方法，对β级α型Bazileviˇc函数类Bα(β)的对数系数bn进行研究.所得结果推广了一些作者的相关结果.

单叶函数；对数系数；Bazileviˇc函数

1　引言

设 f(z)与 g(z)在 U内解析，如果存在 U内满足 |ω(z)|≤|z|的解析函数 ω(z)，使得g(z)=f(ω(z))，则称g(z)从属于f(z)，记作g(z)≺f(z).

设α＞0，β∈R，f(z)∈S，如果存在g(z)∈S∗，使得则称f(z)∈B(α，β)[3].

文献［4］给出了如下α型β级Bazileviˇc函数类Bα(β).

定义 1.1设f(z)∈S，α≥0，0≤β＜1，若存在g(z)∈S∗，使得

则称f(z)∈Bα(β)，其中的幂函数取主值.显然Bα(0)=Bα.设f(z)∈S，若则称bn为f(z)的对数系数.对数系数的估计在单叶函数的系数估计中有重要作用.Keobe函数k(z)=z(1-z)-2的对数系数为bn=1/n.对bn(n≥2)的估计，现在已经证明：

(1)当f(z)∈S∗时，|bn|≤[5]；(2)当f(z)∈C时，|bn|≤A，其中A表示一个绝对常数[6]；(3)当f(z)∈Bα时，|bn|≤A(1+α)，其中A表示一个绝对常数[7]；(4)当f(z)∈Y时，|bn|≤A，其中A表示一个绝对常数[8]；(5)当f(z)∈B(α，β)时，|bn|≤A，其中A表示一个绝对常数[9].

本文研究Bα(β)的对数系数.

2　引理

引理 2.1[9]设f(z)∈S，则

引理 2.2[9]设f(z)∈S，α∈C.则，z=reiθ，0＜r＜1，

引理 2.3[6]设f(z)∈S，则对z=reiθ，≤r＜1，有(1)

(2)

引理 2.4[10]设g(z)∈S∗，则arg g(z)＞0且引理 2.5[11]设f(z)∈S，则对0＜r＜1，有

引理 2.6设f(z)∈Bα(β)，g(z)∈S∗使得(1)式.则对z=reiθ，0≤r＜1，有

(1)

(2)

(3)

证明(1)由引理2.1和引理2.2可知，

易知J11≤1，利用分部积分公式和引理2.4可得，

所以

(2)记

而

由分部积分和引理2.2可知，

由引理2.3和Schwarz不等式可知，

所以

由(3)式和(2)式可知，

所以

由引理2.1，引理2.2和分部积分可得，

由引理2.5可知，

所以由引理2.3可知，

引理 2.7设f(z)∈Bα(β)(α≥0，0≤β＜1)，则对z=reiθ，0≤r＜1，有

证明如果f(z)∈Bα(β)，则存在g(z)∈S∗使得(1)式成立.由于0≤β＜1，所以

由从属关系定义可知，存在Schwarz函数ω(z)，使得

经简单计算有

因为0≤β＜1，所以|2β-1|＜1，又因为|ω(z)|≤|z|，所以

由于

所以

3　主要结论

定理 3.1设f(z)∈Bα(β)，则对n≥2，

其中

证明……