各项异性椭圆方程基本解的存在性

吕小敏，魏公明

（上海理工大学理学院，上海　200093）

各项异性椭圆方程基本解的存在性

吕小敏，魏公明

（上海理工大学理学院，上海200093）

证明了右端可测的各项异性椭圆方程基本解的存在性，其中应用了各项异性Sobolev空间和Lebesgue空间.首先得到近似方程的解，然后通过对这些解的子列取极限，得到原方程的解.关键是要有一个近似函数空间以及近似方程的先验估计.最后运用Vitali定理证明了原方程基本解的存在性，推广和改进了已有方程.

各项异性方程；弱解；格林函数；Vitali定理；基本解

1　引言

近年来各项异性椭圆方程得到极大的关注.以时间版本的方程构成的数学模型用来描述传染病等传播疾病，参见文献［1-2］.类似的模型也出现在流体动力学中，介质在不同的方向有不同的传导率，参见文献［3-4］.

本文是受文献［5-6］的启发.在文献［5］中作者研究了如下问题：

其中

是→p-拉普拉斯算子，δ0是狄拉克测度，当Ω⊂Rn且n≥2；0∈Ω时δ0=0.设

p是p1，...，pn的调和平均数，即

文献［5］证明了基本解的存在性.自然会想到一个问题：是否可以用这种方法解如下→p-→q各项异性椭圆方程呢，

其中

问题(1)的困难之处在于当pi，qi不相等时，其基本解没有明显的一个公式.

文献［6］研究了如下各项异性非线性椭圆系统：

其中方程右端µ=(µ1，...，µm)⊤是一个给定的向量，值为有限集Ω上的Radon测度.

受以上两篇文章的启发，在(3)式中取

本文考虑如下各项异性椭圆方程系统：

假设：

(i)→p：=(p1，...，pn)；→q：=(q1，...，qn)；qi＜pi；1＜p1≤p2≤...≤pn＜∝；

(ii)p是p1，...，pn的调和函数，即并且p＜n；

q是q1，...，qn的调和函数，即

(iii)

(iv)是文献 ［6］中的注 3.1.受参考文献 ［7-9］)的启发本文证明了……