双调和方程的有限积分方法

李书伟，徐定华，余　跃

(浙江理工大学理学院，杭州 310018)



双调和方程的有限积分方法

李书伟，徐定华，余跃

(浙江理工大学理学院，杭州 310018)

利用有限积分法求解平面矩形区域双调和方程边值问题。首先，对双调和方程以及边界条件分别进行积分,得到一带有任意函数的线性常微分方程组；其次，将积分产生的任意函数分别进行插值估计，进而转化成为一可求解的线性代数方程组；最后，利用正则化方法求解奇异线性方程组，获得近似解误差估计。通过Matlab进行数值模拟实验获得数值结果，并进行误差分析。数值结果表明，与有限差分法、有限元法以及广义有限差分法相比较，有限积分法具有更高精度。

双调和方程；有限积分法；正则化方法；误差估计；数值解

0　引　言

双调和方程主要来源于流体力学和弹性力学，在工程技术方面应用极为广泛，相关理论和方法的研究一直是人们关注的热点，有限差分法[1-2]和有限元法[3]是常用的求解双调和方程的两种数值解法。有限差分法的优点是方法简单、计算量小，但是对边界区域规则性的要求非常高，难以处理复杂网格。有限元法虽然可以针对任何边界区域，但对于区域网格的划分有严格的要求。有限体积法[4]和边界元法[5]也是求解双调和方程非常重要的数值解法。有限体积法虽然自身包含几何信息、易处理复杂网格，但是计算比较复杂、不易提高精度。边界元法最大的优点是，可以使问题的空间维数降低，从而使计算工作量及其所需计算机容量大大减小，但是该方法需要求出问题的基本解，推导过程比较复杂。……