始于凑数，经历调整， 建立模型

徐英飞

【教学内容】

人教版四年级下册第103页。

【课前思考】

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中，现被编排在人教版四年级下册。笔者曾以“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有11个头，从下面数，有28只脚。鸡和兔各有几只？”为例，做过两次前测，一次是农村小学的一个四年级班（39人，从未学过奥数），结果只有2人凑出了正确结果，另一次是城镇小学的一个四年级班（43人），结果只有9人得出了正确结果（包括学过“假设法”的5人），这说明“鸡兔同笼”问题真的很难。当时也让会假设法的学生给大家说一说，结果大家都听不懂，但凑数法没怎么说就明白了。因此，只有“凑数和调整”才是解决“鸡兔同笼”问题最好的方法。

【教学目标】

1.经历“猜测、调整”的过程，建立“兔鸡同笼”问题的解题模型。

2.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.激发学生学数学、用数学的兴趣。

【教学重点】

让学生学会一种解决问题的策略“猜测、调整”。

【教学难点】

怎样调才能一步到位。

【教学过程】

一、谈话引入

师：（直接出示课题）同学们，今天这节课我们要研究“鸡兔同笼”问题，你猜猜看，它可能要我们研究点什么？

二、探究新知

1.初步感知

课件出示例1：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有11个头，从下面数，有30只脚。鸡和兔各有几只？

师：请同学们自主读题，尝试解决。

师：谁愿意汇报？

预设一：假设法，假设全部是鸡或全部是兔。

预设二：凑数法（如右图），先猜鸡是5只，兔是6只，结果总结脚多了4只，于是又猜鸡是6只，兔是5只，结果还是多2只，最后换成鸡是7只，兔是4只，正确了。

师：有的同学用了“假设全部是鸡或全部是兔”的方法，但我们都听不懂，而另一种“先猜测再调整”的方法，却让我们一看就明白了，你愿意用这种方法试试吗？

课件出示例2：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有14个头，从下面数，有44只脚。鸡和兔各有几只？（让学生用“猜测、调整”的方法尝试）

组织展示和交流（不同的学生选择的数据可能会不同，但本质是一样的：都是从不正确调整到正确。交流中可以渗透列表法和画图法，比如下图）。

（设计意图：通过例1，能让学生初步感知“凑数法”，通过例2，可以让学生初步运用“凑数法”，经历了“猜测与调整”之后，再去寻找“怎样调才能一步到位”的规律，就容易多了。）

2.探究规律

课件出示例3：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有108只脚。鸡和兔各有几只？让学生自主解答。

组织汇报和交流（学生的方法肯定很多，但因数据的原因，大多数方法调整起来比较麻烦）。

师：我们发现数据大了，猜测的结果往往与正确结果相差比较大，这时候调整起来就比较麻烦。那么怎样调才能一步到位呢？请同学们继续探究。

师：谁愿意汇报一下自己的发现？

预设：（如右图）假设鸡有5只，兔有30只，则总脚数是130只，比正确数多22只，所以需要加鸡减兔，因为一只兔换成一只鸡会减少2只脚，所以要减少22只脚的话，可把11只兔换成11只鸡。

师：11只是怎么得出来的？（22÷2=11）

师：请大家再完整地写一写算式。

预设：5×2+30×4=130（只）130-108=22（只）22÷2=11（只）5+11=16（只）30-11=19（只）

师：如果是猜20只鸡，15只兔，你能一步调整到位吗？请试一试。

预设：20×2+15×4=100（只），108-100=8（只），比正确数少8只，所以要减4只鸡加4只兔。

师：通过刚才一系列研究，你们觉得可以怎样解决“鸡兔同笼”问题？

预设：只要总头数正确，鸡和兔的只数可以任意猜，然后再根据总脚数进行调整。

（设计意图：通过这部分的教学，能让学生经历多次的“猜测、调整”过程，既巩固了解决“鸡兔同笼”问题的方法，又发现了“怎样调才能一步到位”的规律。）

3.沟通联系

师：我们再回到例1，刚开始的时候，有同学用了“假设全部是鸡或全部是兔”的方法。现在你们能看懂吗？

预设：假设全部是鸡，其实就是猜鸡11只，兔0只，所以总脚是（11×2）22只，比正确数少了（30-22）8只，因此要减4只鸡加4只兔，即鸡是7只，兔是4只。

师：所以假设“全部是鸡或全部是兔”，也是“猜测、调整”的方法。

（设计意图：经历了“猜测与调整”，再去看“假设法”的时候，就十分简单了，再加上前面的“列表法”和“画图法”，学生就会发现所有的方法，殊途同归。）

三、练习巩固

1.自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？

2.全班一共有38人，共租了8条船，每条小船坐4人，每条大船坐6人，每条船都坐满了。大、小船各租了几条？

（设计意图：通过变式题的练习，能让学生发现生活中的很多问题都可归结为“鸡兔同笼”问题类型。通过这些问题的解决，既拓宽了思路，又巩固了解题模型。）