微积分基础理论三个重要节点的研究

朱孝春[1]



微积分基础理论三个重要节点的研究

朱孝春[1]

（浙江同济科技职业学院 基础部，浙江 杭州 311231）

微积分的学习，需要改变原来的静态思维模式，把握函数是微积分学科的研究对象，极限是考察数值变化的基本思想，导数是分析函数变化的主要工具．用动态的角度去探索量的变化关系，进而提炼为用哲学的理念去观察事物的现象和发展规律，理解微积分基础的理论结构，最终领悟微积分学的数学思想．

思维模式；数学思想；辩证法

微积分的学习不仅为后续课程的探究提供了有力的数学工具，它的思想对于学生一生的学习与工作将产生重要而深远的影响[1]．要学好微积分这门课程，必须了解它的结构、原理和内在的关系，本文总结了微积分基础理论的三个重要节点，并对其教学过程进行研究．

1牢记基本初等函数的图像和性质

2熟练掌握导数的计算

导数是研究函数变化关系的最常用工具，因为微积分理论中处处都有求导的问题．如平面光滑曲线上切线的点斜式方程、洛比达法则的运算式、可导函数一阶导数符号的单调判别及二阶导数符号的凹向判别、不定积分概念和定积分牛顿-莱布尼兹公式中被积函数与原函数的关系、空间光滑曲线上切线的点向式方程及法平面的点法式方程、空间光滑曲面的切平面方程及法线方程、曲线积分中的格林公式、函数的泰勒级数展开式的通项等．在记忆公式和性质时，同样需要运用记忆术．如三角函数和反三角函数的导数公式，需要模块记忆，它们的符号依次是“先正后负、正负交错”．反三角函数的导数公式分两组，每组大小相等，形式另记．需要指出的是，公式和法则中出现的变量只是一个符号，表示一个元素，而等号的右边正是说明左边的表达式关于这个元素求导的结果．对于复合函数的导数问题，只要把中间变量整体看成为一个元素，先对原来的函数关于这个元素求导，再乘上这个元素关于最终变量（即自变量）的导数，即便是中间变量有许多，无非是重复使用该方法罢了．

3用哲学思想去理解和体会微积分学

数学和哲学的关系，犹如物理和数学，相互依赖，相互促进[4]．学习微积分，就是要学习它的严谨性、逻辑性和辨证性，它的灵魂便是哲学．数学的哲学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁[5]，运用数学的哲学思想，能使学生对微积分的认识和理解，提升到更加宏观和系统的层次[6]．

3.1运动与静止

静止是暂时的，运动是永恒的．初等数学中的观点和方法，比较注重结果，通常可以用“静止”两个字来概述，是运动事物在瞬间的最简单状态．而微积分，因为有了极限的理论，它的思维模式完全发生了变化，更多的是研究事物发展的趋势，需要用运动的角度去观察问题，这就是微积分的深刻本质[7]．如果不能及时转变观念，学习过程将是非常痛苦的．如数列：0.9，0.99，0.999，0.999 9，…，它的每一项都是不变的常数，且不等于1，而它的通项又是一个关于的变化量．随着的不断增大，数列的通项越来越接近1，它与1的距离要有多小就有多小，说明在的条件下，的变化趋势是一个静止量1，用极限符号把它记为，换言之，0.999 9…=1．函数的定义域，虽然不能取1，但却可以无限地靠近1，在靠近的过程中又始终不等于1．这时，即．

3.2一般与特殊

微分中值定理是体现一般与特殊关系的典例．可以知道，罗尔定理是拉格朗日定理在条件下的特殊形式，而拉格朗日定理又是柯西定理当的一个结果．说明同一事物（如拉格朗日定理）在一定的条件下是一般的，在另一条件下却又是特殊的，一般和特殊都是相对的而不是绝对的，并且具有递推性质，即是的特殊，又是的特殊，则也是的特殊．同时，事物与事物之间，在一定的条件下又可以相互转化．若在罗尔定理中令，则可以推出拉格朗日定理，类似地，令，也可以由罗尔定理推出柯西定理．

3.3有限与无限

分析一个事物，可以通过研究它的对立面来解决，反例可以使学生比较直接地发现其中的区别与联系，进而更好地理解这些内容[8]．对于无限区间的反常积分，因为积分区间是一个无限区间，无法直接应用牛顿-莱布尼兹公式，于是退一步，先讨论相应的有限区间，求出，再考察极限．如果此极限存在，则，否则原反常积分发散．在无穷级数收敛和的计算时，先求出前个有限项的和，然后取极限．假设该极限存在，它的值为常数，那么收敛于，即，否则原无穷级数发散．这样，先把无限化有限，再把有限变无限，通过极限理论，使两个对立的事物得到了统一．

[1] 林喜季．高校微积分教学研究[J]．吉林教育，2012（8）：8-9

[2] 高本重郎．记忆术[M]．林怀秋，译．长沙：湖南科学技术出版社，1982

[3] 张鼎．微积分教学方法探讨[J]．试题与研究：教学论坛，2014（17）：21-23

[4] 张慧．高职微积分教学探索与实践[J]．内蒙古电大学刊，2011（1）：99-100

[5] 颜有祥．微积分的基本数学思想[J]．学园·教育科研，2012（17）：61-63

[6] 李明，单连峰．简论微积分中的四种数学哲学思想[J]．数理医药学杂志，2011（2）：250-252

[7] 汤彬如．苏步青先生的数学哲学思想[J]．南昌教育学院学报，2006（3）：8-10

[8] 殷炜栋．微积分教学中的反例[J]．浙江科技学院学报，2014（3）：232-236

Research on basic theories of calculus from three important nodes

ZHU Xiao-chun

（Department of Basic Course，Zhejiang Tongji Vocational College of Science and Technology，Hangzhou 311231，China）

The thinking mode of learning calculus should be changed from the traditional mode to a new mode．In the new mode of learning，the function should be studied，the limit should be paid attention，and the derivative should be used as one of the main tools．The analysis of the change of the quantities should be observed in the dynamic perspective，so that the observation to the phenomenon and developing rules will be on the base of philosophy，and the learning of calculus will be happy．

thinking modes；philosophy of math；dialectic

1007-9831（2016）02-0059-03

O171∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.02.017

2015-08-10

朱孝春（1959-），男，浙江杭州人，副教授，从事数学教学与教研工作．E-mail：hz.zxc@163.com