基于进化算法的重叠社群结构探测

张锴琦，杜海峰, 何晓晨



基于进化算法的重叠社群结构探测

张锴琦1,2，杜海峰1,3, 何晓晨1,3

（1.西安交通大学公共管理与复杂性科学研究中心，陕西西安 710049；2.西安交通大学管理学院，陕西西安 710049；3.西安交通大学公共政策与管理学院，陕西西安 710049）

Ball等提出的基于概率模型的重叠社群探测方法（Principled statistical approach for overlapping communities）通过最大期望求解的方法能够对大规模网络的重叠社群结构进行有效探测。但由于该方法的优化目标函数求解空间相对复杂，其采用的爬山优化算法难以获得一个全局最优的社群划分结果。针对该问题提出了一种基于进化算法的重叠社群探测方法，通过设置不同社群划分种群并采用竞争优选的过程来获得对PSOC目标函数的优化。计算机生成网络和真实网络重叠社群结构的探测实验表明，所提改进算法有效可用，能在获得较优目标函数值的同时，对重叠社群结构进行准确划分。

复杂网络；重叠社群结构；进化算法；算法改进

0引言

社群结构（Community Structure）有效地揭示了网络中具有相对共性的节点所形成的社群关系，而不同社群之间则反映了网络的中观结构关系特征，因而相关研究及其应用受到了管理学、生物学、物理学等学科的重视[1-4]。有研究表明，社群结构特征对于企业家精神的发挥存在显著影响[5]，而社群结构对于运营商营销策略的制定也提供了重要的理论支持[6]。

社群结构探测是社群结构特征结构研究的基础，而目前的社群探测方法多是一种硬聚类（分类）的方法，即探测结果的节点只隶属于某一个社群中。但在真实网络中，节点仅隶属于一个社群的情况是不符合现实情况的，更为常见的是一个节点可能分属于多个社群，尤其是那些位于社群边缘与多个社群保持连接的节点。一个节点可能分属于多个社群的情况被称为社群的重叠或重叠社群结构（Overlapping Community Structure）[7]。重叠社群结构除了能够更准确地反映网络宏观的结构特征，还能够对网络中节点结构特征通过隶属关系的方式进行表达，例如社会关系中社会成员的多重社会身份、管理研究中企业员工分属不同工作小组的隶属程度等。因而近些年对于重叠社群结构的探测已经成为社群结构研究的新热点[7]。

已有对于重叠社群结构探测的方法中，最为通用的是由Palla等所提出的基于-派系的重叠社群识别的方法——派系过滤方法（Clique Percolation Method，CPM）[8]。CPM假设网络中存在多个相邻的-派系，通过定义相邻派系共享节点的数量发现其中存在的重叠的社群结构特征。Palla等在CPM方法之上提出了用于加权网络的CPMw方法和用于有向网络的CPMd方法[9,10]。但是CPM方法对于大规模网络计算复杂度高，同时存在参数设定模糊和识别准确度较低等问题。

Ball等于2011年提出了一种基于概率模型的重叠社群结构探测方法（Principled Statistical Approach for Overlapping Communities，以下简称PSOC算法）[11]。该方法引用概率潜在语义分析（Probabilistic Latent Semantic Analysis，PLSA）模型[12-14]中对于文本共同主题探测的思路，构建一种包含节点、边与社群隶属关系的网络生成模型，通过最大期望估计的方法获得节点、边与社群之间的隶属关系，从而实现大型网络重叠社群结构的高效探测。但是PSOC算法所优化的目标函数是一个复杂的多峰函数，PSOC算法所采用的爬山优化策略很难获得该函数的全局最优，从根本上影响了PSOC算法的探测结果。同时PSOC算法所采用的串行算法结构和初始值设定也影响着算法的探测效果与效率。

针对以上问题，本文基于PSOC算法提出一种基于混合进化算法的重叠社群探测方法，在进行最大期望估计的求解过程中引入混合竞争的进化思想，将优化过程融入到求解过程中，从而尽可能的获得全局最优解。本文余下的内容由四个部分组成：第二部分是对PSOC算法的运行机理进行分析，探讨该算法的特点；第三部分是将混合进化算法的思想引入到PSOC算法之中，提出一种新的优化求解方法；第四部分是利用计算机生成网络数据和真实网络数据对本文所提的优化方法进行测试，通过与PSOC算法的对比对改进算法的有效性和可用性进行验证；第五部分是本文的研究结论，研究局限性与进一步工作的简单讨论。

1基于概率模型的重叠社群结构探测方法

Ball等在文献[11]中所提出的针对重叠社群结构的PSOC方法的本质上是一种还原网络统计概率模型。模型通过一组隐含变量构建节点、边和社群之间的隶属关系。具体的该模型设定生成网络拥有个节点和个社群，设隐含变量θ表示节点所属于社群的概率，而将节点和节点之间的边属于社群期望表示为θθ。根据以上设定，如果隐含变量能够使得生成网络对原网络的还原概率获得最大，则生成网络能够在还原网络的同时，通过反映节点、边和社群的隶属关系，揭示网络中存在的重叠社群结构。因而依据原网络邻接矩阵A，隐含变量条件下生成网络的还原概率可以表示为：

对于上式，采用最大期望估计方法（EM算法）实现极大似然估计方法求解，更表示为：

（2）

其中q()表示在节点与节点间的连接边对于所有社群，属于社群的可能性，即，其满足。形式上不断优化式（2）右部的计算结果， 可不断逼近的最大值。因此，对于PSOC算法而言，其优化的目标函数可表示为

而根据q()的定义，文献[11]在对式（3）求导后将式（2）的最大似然估计求解便转化为对θ和q()的求解问题。而通过最大期望估计方法对θ和q()的反复迭代求解，便可获得问题的最终求解。

Ball在实现上述求解过程中，主要分为两个步骤完成第一步为计算步骤（Compute Step），其通过统计已有节点与社群之间的连接边的平均数量k（）和社群拥有的平均度数（）来计算θ以及相应的q()。并用()存储节点与社群的关系矩阵。

第二步为剪枝步骤（Pruning Step），其根据已计算的q()来计算k’，并实现对k的替换修正，以用于后次迭代；同时剪枝步骤操作还对最大期望估计方法的收敛步长进行修正，根据文献[11]中的设定最大期望估计方法的收敛条件为初始设定的容忍度值；当时，即认为最大期望估计方法的求解已经收敛，停止最大期望估计方法的迭代，并根据式（3）计算相应的值。

然而作为一个优化问题，由于PSOC算法采用随机初始化的方法进行最大期望估计求解，单次最大期望估计所得的值很难保证其为最优解。因此，PSOC算法的优化策略是采用一般爬山优化策略。具体地PSOC算法对最大期望估计方法进行多次独立执行，将多次计算结果中最大的值作为算法的最优解，并将该值所对应的重叠社群探测结果作为最终的划分结果。

PSOC算法虽然给出了一套完整的探测重叠社群结构的重构模型和求解方法，但是从已有的算法设计来看，其仍存在需要改进之处。首先，正如文献[11]所指出的，PSOC算法是一个分类方法，初始设定的社群数量会影响到算法最终探测结果。

其次，本文研究发现，对于给定网络，式（3）的目标函数是一个复杂的多峰函数，通过爬山策略获得目标函数优化的过程存在易于陷入局部最优值的问题。图1是PSOC算法在分析网络Zachary时值优化的结果分布，从1000次求解的结果来看值最优值的搜索空间十分复杂，算法的最优结果收到算法迭代次数影响的可能很大，因而简单的爬山优化策略难以满足需求。

图1 PSOC算法针对Zachary网络1000次迭代求解D值分布

最后，PSOC算法对于值的求解过程与优化过程之间存在相对较弱的依赖性，因而现有优化过程所采用的串行算法结构并不会有益于值的求解，相反，会因为迭代次数而影响到算法的效率。此外，PSOC算法还会受到较多初始参数的影响而最终影响探测效果。

2基于进化算法的方法改进

根据对于PSOC算法机理分析，PSOC算法利用爬山算法优化目标函数的方法很难获得全局最优，并且该算法忽略了求解过程的隐含并行性，因此，本文采用进化算法取代爬山算法完成对目标函数的优化。对网络初始建立个社群划分种群，通过种群个体τ()之间的交叉引入独立算法之间的相互关系，通过种群的变异复制执行原算法的迭代修正，通过适应度函数值对种群进行优选，将原有串行算法改为并行求解，在原方法每次独立算法之间引入竞争关系，从而获得对社群划分结果的不断优化和改进。同时引入了克隆选择过程来保持进化过程中的种群多样性。具体地，本文提出的算法（Evolutionary Algorithm for Overlapping Community，以下简称EOC算法）主要包括克隆操作、修正操作、交叉操作、变异操作和竞争优选操作五个部分组成。算法通过随机初始化的方式，生成个包含个节点和个社群的初始社群划分矩阵，其生成方法与原PSOC算法操作一致。

图2 变异策略节点隶属社群示意图

对于一个还原原网络的算法而言，这种调整要么会使得结果更真实的还原实际情况，要么会使得结果背离实际情况。但从本文提出的算法整体结构而言，进化的策略会保留更优的结果而剔除背离实际的结果，因此变异操作可能会产生更优的结果而被进一步保留，从而在一定程度上缩短了最优解的搜索路径。依据这一策略，变异操作的具体操作是，对种群τ（Par）遍历网络中的边-以p概率选取其作为变异操作对象，从种群τ(Par)中获取节点和节点对应社群的期望θ和θ，交换θ和θ的值，实现变异操作。

基于以上算法操作和进化算法基本框架，本文所构造的改进策略算法结构如下：

算法1:EOC算法结构 INPUT: Graph G=(V,E), PopNum g,CloneNum n,CrossProb pc, MutationProb pm OUTPUT: Community Partition M 1: FOR each chromosome 2: randomly generateτi(M) 3: ENDFOR 4: WHILE Iteration

算法采用迭代次数作为算法的停止条件。算法停止后取D所对应的重叠社群划分结构为算法的最终结果。算法操作过程中，交叉操作、变异操作以及修正操作的先后顺序理论上不影响算法的最终结果，但可能在一定程度上影响算法的搜索路径和搜索效率。

从算法构建机理来看，如图3所示，EOC算法事实上是对PSOC算法优化结构上的一种结构调整。

图中两种算法的计算步骤和剪枝修正步骤的算法过程是一致的，而不同的是PSOC算法中每次迭代过程是独立的，EOC算法则将这种独立的算法进行并行处理，将优化过程融入到求解过程中，从而解决PSOC算法依靠单纯爬山算法容易获得局部最优的问题。PSOC算法的单次最大时间复杂度为O()，其中是边的数量，为设定社群数量，而EOC算法的单次时间复杂度为O(K)，为设定种群数量，为克隆种群数量，和设定与PSOC算法相同。从算法复杂度的角度而言本文所提算法要高于PSOC算法，但当固定种群数量时算法时间复杂度与PSOC算法相仿。EOC算法的收敛性证明与基础进化算法类似，此处便不再赘述。

（a）PSOC算法求解过程简图

（b）EOC算法求解过程简图

图3 PSOC算法与EOC算法结构对比图

3实验与讨论

实验包括三个部分组成：实验1采用了Ball等对于PSOC算法进行测试的生成网络模型对EOC算法结果进行测试，通过划分还原效果对不同设置下的结果进行测试。实验2采用四种真实网络对PSOC算法和EOC算法的算法性能进行比较。实验3则是对EOC算法中的参数对算法性能的影响进行讨论。实验均在Intel（R）Core（TM）2 Quad CPU Q8400 @2.66GHz的PC机上采用Matlab7.0实现测试。试验初始设定的参数为社群数量=20，克隆种群数量=6，变异概率为p为0.8，交叉概率p为0.1；停止准则为最大迭代次数N为100。为消除算法的随机性，实验所得结果均为100次独立运算的结果平均。

3.1生成网络实验

Ball等[11]在对PSOC算法进行测试的过程中，提出了一种可控制变量的随机生成网络，对算法的还原程度进行测试。根据其对于该网络模型的设定，其包含个节点。如图4所示，该网络拥有两个相互重叠的社群和，用和分别代表社群独立拥有的节点数量，用表示两个社群重叠的节点数量，因此有=--。同时初始设定每个节点度的期望值为。

图4 生成测试网络拓扑结构图

根据以上设定，当分别改变以及值时，将构建不同的网络结构模型。尤其是当值发生变化时，网络中社群结构的变化尤为明显。根据Ball的描述，当k→0时，网络类似于随机网络而社群结构十分模糊，此时算法所探测的结果也相对较差；而随着值的不断增加，网络中的边也不断增加，相应的网络中存在的两个社群结构也逐渐清晰；同时，由于网络模型中事先设定了重叠社群中的节点数量，使得<(-1)/2时，网络始终能区分出存在两个相互重叠的社群。因此，本文在控制值的情况下对EOC算法进行了实验测试。设定测试网络模型规模=1000，设==475，=50；设值从1开始以步长为2共取10组数据。实验采用两个指标对算法的还原程度进行测试，其一为Ball原文中的Jaccard指数，Jaccard指数是一种区分数据重叠程度的指数。根据Ball对于Jaccard指数的设定，设S为网络中实际属于重叠部分的节点，设V为探测所得的重叠部分的节点，则Jaccard指数可以表示为。其二本文采用了一种改进的NMI指数测量方法[15]来比较探测结果与实际结果之间的差异，具体地对于该网络模型设网络重叠部分节点为一个独立的社群，设定临界系数，比较算法结果中每个节点对不同社群的期望，当时，则认定该节点属于两个社群重叠的部分；其他情况节点按较大的期望，划分其为对应的社群。NMI指数越接近1，探测社群结构与实际社群结构越相似，反之差异越大；在本文中，由于算法探测所得的社群划分结果明显会受到的影响，因此NMI值在一定程度上受到的影响而有所差异；本文实验中设。经计算，EOC算法和PSOC算法实验所得的结果如图5所示。

（a）NMI结果对比图

（b）Jaccard指数结果对比图

图5 生成网络结果对比图

图5表明，两种算法NMI值和Jaccard值随着值的增大而不断提高，说明算法随着社群结构的清晰而探测结果不断优化；图5（a）中，除了在=1时，EOC算法的结果差于PSOC算法结果外，其余情况EOC算法所得的NMI结果总是优于PSOC算法的结果。图5（b）则表明，当>7时，EOC算法的结果都优于PSOC算法所得的结果。综上所述，在社群结构模糊时，两种算法的结果的探测结果都较差；但随着社群结构的逐渐清晰，两种算法探测结果的还原程度不断提高，同时EOC算法相比PSOC算法具有更好的探测效果。

3.2实际网络实验

为了比较两种算法对于实际网络实验的探测效果，本文选取了Zachary、Dolphins、Football以及Polbooks四组网络数据作为测试数据。选取这些数据的原因在于其社群结构数量已知，能够更好的比较两种算法的探测效果。表1列出了这些实际网络数据的基本特征。

表1 实验测试网络数据特征

测试结果如表1所示，表中PSOC算法与EOC算法所计算的值分别用D和D表示，用来表示两种算法的差异性，其定义为

当0时，表明两种算法没有明显的差异性；当0时表示EOC算法探测效果更优，反之则PSOC算法效果更优。为了消除随机搜索带来的结果的差异性，表2中的所有结果都是100次运算结果的平均值所得，并给出了相应的标准差Std和Std。

表2 实验测试结果

从表2的结果来看，对于4个网络而言在同样社群数量设定情况下，EOC算法所得的结果都优于PSOC算法所得的结果。并且从标准差的比较来看，EOC算法所得结果的标准差小于PSOC算法的结果标准差，说明EOC算法的求解过程更加稳定。

图6对比了EOC算法和PSOC算法在上述实验基础上对Zachary网络探测结果中节点k的分布情况。Zachary网络含有34个节点和两个社群，因而=1,2..., 34；=1, 2。

图中横轴表示Zachary网络中的34个节点，纵轴表示0-1标准化后节点的度分别属于社群1和社群2的数量k。k的分布极差说明了算法在对节点探测其属于社群的稳定性，极差越大算法稳定性越差，反之则算法的稳定性越好；从结果来看，EOC算法在100次探测过程中，每个k的分布都保持在一个极小的范围内，因而可以认为EOC算法探测的效果是稳定的。而对于PSOC算法，k的分布则普遍存在一定极差，因而其求解过程并不稳定。

3.3参数影响讨论

交叉概率和变异概率是EOC算法中两个重要的参数。作为初始参数，其是否会影响算法的最终求解是算法结果稳定性的一项重要评判标准。由于数理上很难对这个两个参数对算法的影响进行讨论，因此本文试图通过模拟仿真的方法实现参数对算法的影响讨论。在不同交叉概率和变异概率的影响下，本文对表1中四组网络的社群结构探测结果进行了统计。图7（a）显示了p=0.1，交叉概率c从0.1增至1时，EOC算法所的社群探测结构对应最大值的变化情况；图7（b）显示了p=0.1时，变异概率p从0.1增至1时，对应最大值的变化情况。

从结果来看，当变异概率p和交叉概率p变化时，EOC算法所得值均有一定波动，但总体变化不大。说明EOC算法结果受到变异概率p和交叉概率p变化的影响并不明显。但需要说明的是，虽然p和p不会显著影响EOC算法的求解结果，但会影响EOC算法的求解过程，在一定程度上影响算法的收敛速度。

4结论与展望

PSOC算法作为一种重叠社群结构探测方法，依靠还原网络结构的概率模型，通过EM算法对节点与社群之间的隶属期望进行估计求解，形成节点与社群的隶属关系矩阵，从而实现对节点分属于多个社群的结构探测。但是作为一种求解最优目标函数的方法，PSOC算法使用的爬山算法并不能有效求解复杂目标函数求解空间，并且PSOC算法中含有的初始参数在一定程度上会影响到算法的最终结果。因此，本文提出了一种基于进化算法思想的优化策略来改进PSOC算法。改进方法EOC算法以目标函数值为适应度函数，以节点与社群的隶属关系矩阵为进化种群，通过种群之间的交叉、变异、修正、优选等操作来实现对目标函数的优化，进而获得最优的重叠社群结构探测结果。从本质而言，EOC算法将PSOC算法中的独立串行求解过程改变为一种交互并行求解过程，使得算法执行过程中不同求解过程之间可以存在一定的相互影响，进而实现对目标函数全局最优求解的逼近。通过对EOC算法和PSOC算法之间的实验测试发现，对于一般0-1对称网络而言，EOC算法比PSOC算法拥有更优的求解效果，并且EOC算法的初始参数并不会显著影响到算法的求解结果。

本文通过对PSOC算法的改进探索发现，重叠社群结构探测其本质是对于社群间边缘邻接节点的探测过程。对于该类节点的识别可以有效的区分出网络中的其他社群结构，进而实现对社群结构的探测。而如果将重叠社群节点作为一个独立的社群结构纳入到社群结构探测过程中，为社群结构探测提供了一种新的研究思路。同时，对于该类节点的研究在社会网络研究中具有十分重要的社会学意义，该类节点所提供的隶属度在一定程度上扩充了社会网络中节点的社会属性，为社会网络研究提供了新的研究途径。然而，EOC算法仍然是一种分类算法，对于未知社群数量的网络而言，算法的结果显然很难与实际情况相符。这也需要在进一步的研究工作中予以完善。同时，就EOC算法的普遍适用性而言，对于探测有向网络、加权网络等网络结构仍需要做进一步的研究。

（a）EOC算法节点k的分布情况

（b）PSOC算法节点k’的分布情况

图6 Zachary网络社群结构探测k’分布状况

(a) 交叉概率pc (b) 变异概率pm

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Evolutionary Algorithm for Overlapping Community Structure Detection

ZHANG Kai-qi1,2, DU Hai-feng1, 3, HE Xiao-chen1, 3

(1.Center for Administration and Complexity Science, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. School of Management, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049，China;3. School of Public Policy and Administration, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Overlapping community structure detection, which has become a new hot spot for the analysis of community structure, can not only reflect the macro-structure of networks more accurately, but also describe the structure of nodes in networks by affiliation expressions. Ball et al once proposed the algorithm of principled statistical approach for overlapping communities (denoted as PSOC), which can efficiently detect the overlapping community structure. However, the climbing optimization algorithm in PSOC may derive the result trapped in local optimum. In addition, the algorithm structure and the initial value of PSOC algorithm adversely affect the detection effectiveness and efficiency of the algorithm.

To solve these problems, we introduce the evolutionary algorithm (denoted as EOC) to replace the climbing algorithm to optimize the objective function. Specifically, we first initially establishcommunities for the network. In addition, we introduce the crossover operator to build the connection among the independent optimizing process in PSOC and the mutation operator to replace the iterative adjusting in PSOC. We transform the original serial algorithm structure into the parallel one. Through the calculation of the fitness functionand the competition among the population, we select the best community division as the result in each iteration. There are two improvements of EOC. Firstly, the heuristic in mutation operator can reduce the searching path for the optimal solution. Secondly, the competition among the population in EOC can lead to the solving process. It no longer depends on the tolerance value and other parameters in PSOC and avoids the result trapped in local optimum.

From the experiment of generation network and actual network, EOC can correctly detect the overlapping community structure and its result is not worse than the result of PSOC. The community division of EOC is more stable than the PSOC. The solving process is not significantly affected by the parameters in EOC but the convergence speed may be affected to some certain extent.

In this paper, we found that the essence of detecting overlapping community structure is the process of detecting nodes at the margin of communities and connect communities. The identification of such nodes can effectively distinguish the other community structures of the network in order to achieve detection of the community structure. If we treat the overlapping community node as an independent community structure integrated into the community structure detection process, it will provide a new method to detect the community structure. Moreover, the study of such nodes has great sociology significance in the analysis of social networks. It expands the social attributes of nodes and provides new method of research in the study of social networks. However, EOC is still a classification algorithm. For social networks with an unknown number of communities, it is difficult to make the result correspond with the practical situation, which needs to be improved in further research study. Meanwhile, directed network structure and weighted network structure should be explored in terms of the general applicability of the EOC algorithm.

complex network; overlapping community structure; evolutionary algorithm; algorithm improvement

中文编辑：杜 健；英文编辑：Charlie C. Chen

F224.33

A

1004-6062(2016)01-0221-07

10.13587/j.cnki.jieem.2016.01.028

2015-01-23

2015-06-09

国家社会科学基金重点资助项目（12AZD110）；国家自然科学基金资助项目（71071128）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（2011JDGZ08）

张锴琦（1987—），男，陕西西安人，西安交通大学管理学院博士研究生，研究方向为复杂网络与社会网络分析、社会计算。