曲面上的一般变换与交角＊

丁悠祥，牟金平，林炯毅

（台州学院　数学与信息工程学院，浙江　临海　317000）

曲面上的一般变换与交角＊

丁悠祥，牟金平＊，林炯毅

（台州学院数学与信息工程学院，浙江临海317000）

以曲面上两方向的交角公式为工具，分析了曲面S经过一个变换变成新的曲面S时，对应交角的变化情况，得出了一般变换与等距变换和保角变换的关系，并且导出等距变换和保角变换的两个充分必要条件。

曲面；坐标曲线；交角公式；变换

文献［1］和文献［2］对坐标曲线和交角公式作了详细的描述，其中文献［1］还给出了关于曲面第一基本形式与曲面之间变换的定义，文献［2］给出了保角变换的定义。作为求交角的基本工具，文献［3］清楚地给出了复合函数全微分的定义及表示形式。

目前，关于交角变化的研究多数是限制于等距变换或者保角变换的前提之下，对于在两个曲面之间一般变换下交角变化的研究甚少。实际上，在一般变换下，讨论两个曲面之间的交角变化时就不可避免地遇到交角变化的问题，因此，本文将对这一问题进行探究。

本文中所使用的记号来自于文献［1］.G表示初等区域，它在映射f下的像为R3中的曲面S，其中f的解析表达式为x=f1（u，v），y=f2（u，v），z=f3（u，v），（u，v）∈G；f或表示为向量函数的形式：r=r（u，v），（u，v）∈G.从而，曲面S的向量表示为：r=r（u，v），S上的曲线（C）表示为：u=u（t），v=v（t）或的第一基本形式为：表示曲面S上的某一个方向。

1　预备知识

本文的讨论主要以两方向的交角公式和曲面之间的变换为工具，其相关的公式与概念如下。定义1［1］设（du∶dv）和（δu∶δv）为曲面S上的两个方向，则它们的交角θ满足：

定义2［1］给出两个曲面

如果它们对应点的参数之间存在一一对应关系：，其中函数连续，有连续的偏导数，并且函数行列式，记这个变换为σ，则称σ为S到S軈的变换。以下称定义2中的变换σ为曲面之间的一般变换。

定义3［1］曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。

定理1［1］两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，它们具有相同的第一基本形式。

定义4［1］若曲面S到之间的点可以建立1—1对应关系，使得对应曲线的交角相等，则称这个变换称为等角变换或保角变换。

定理2［1］两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例，即有.特别的，当时，保角变换也是等距变换，所以等距变换一定是保角变换，而保角变换不一定是等距变换。

2　主要结果

在这一节中，我们将先给出交角在一般变换下的公式。在此基础上，我们将讨论这个变换与保角变换及保长变换之间的关系。

设曲面S的第一基本形式为：

为了便于表达，记

其次，我们需要下列的假设。

由此，我们可得以下的结论。

定理3假设θ是曲面S上两个方向dr与δr的交角，在变换σ下，为对应方向的交角，则θ与满足

证明：

特别地，在变换σ下，设ω，ω＇分别为坐标曲线的交角与对应坐标曲线的交角，即的交角，且，则

由公式（2)可得

推论1若σ是曲面S和曲面S軈之间一个变换，且曲面S和曲面S軈的坐标网都不是正交的，则这一个变换是保角变换的充要条件是

证明：充分性

必要性

证明：充分性

由推论1可以知道，曲面S和曲面S軈之间的变换σ是保角变换,且有

因此，曲面S和曲面S軈之间的变换是等距变换。

必要性

由于σ是曲面S和曲面S軈之间的等距变换，则有E軍∶E=F軈∶F=G軍∶G=1.

3　结束语

以曲面的第一基本形式、曲面变换、交角、复合函数的全微分为工具，本文指出了一般变换与保角变换及等距变换之间的关系，推广了原有文献中的结论。除此之外，本文还给出一般变换成为等距变换和保角变换的两个充要条件。

［1］梅向明，黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社,2008：72-79.

［2］吴大任.微分几何讲义[M].北京：人民教育出版社，1982：144-147.

［3］华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社,2010：126-131.

Design of M an-machine Interface for the M ulti-channel and M ultisegment Intelligent Tem perature Controller

LI Yadong，GUAN Gonghu＊，CHEN Zhonghao，ZHENG Jiapeng，MAO Jun，HUANG Jinghui
（School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University,Linhai 317000,China）

This paper presents a new man-machine interface for the multi-channel and multi-segment intelligent tem perature controller due to that the system needs more parameters to control and set as w ell as it is hard to operate interactively.The man-machine system is controlled by Atmega128 MCU and composed of keyboard and LCD19264 disp layer.The designed interface uses Chinese menu to set and display parameters.The experimental result show s that the designed interface runs stably and is easy to operate w ith more interactions friendly.

Temperature controller;Man-machine interface;LCD 19264 displayer;Atmega128 MCU

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.03.001

（责任编辑：耿继祥）

2015-03-12

2016-04-07

台州学院培育基金（2013PY09）；浙江省大学生科技创新项目（2015R43006）。

通迅作者简介：牟金平，男（1974-），浙江黄岩人，讲师，博士，主要从事复杂系统的建模与分析研究。