那些年，我们认识的全等运用

范建兵

那些年，我们认识的全等运用

范建兵

全等三角形是初中数学的重要基础内容，也是几何入门的核心要素.在这一章中，我们不仅探索了几种证明三角形全等的方法，知道了几种尺规作图的方法及原理，还学到了利用全等解决一些实际问题.下面，就让我们一起来梳理一下全等判定方法的一些运用吧！

一、三角形全等判定方法的简单运用

两个三角形全等的判定方法一般有4种，分别是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，对于直角三角形，还有一种特殊的判定方法，就是“HL”.我们需要熟练掌握这些判定方法，灵活运用，以解决一些图形全等证明、线段和角计算等简单问题.

1.寻找不能判定两个三角形全等的条件.

例1在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图1和图2，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）.

图1

图2

A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3

B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3

D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°.在A选项中：AB=A′B′=5，BC=B′C′= 3，符合直角三角形全等的判定条件“HL”，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；在B选项中：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定条件“SAS”，∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定条件“ASA”，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.故选B.

【说明】本题主要考查对直角三角形全等判定的理解和掌握，解答此类题不仅需要掌握直角三角形全等的判定方法，还要熟练掌握其他判定三角形全等的方法.

2.四边形中的全等三角形的判定与性质.

例2如图3，已知四边形ABCD，

（1）若AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C；

（2）若AB∥CD，AB=CD，求证：AD∥BC；

（3）若AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD；

（4）若∠A=∠C，AB∥CD，求证：AD=BC.

图3

图4

【解析】如图4，连接DB，问题（1）中的全等条件有AB=CD，AD=BC，DB=BD，可用“SSS”证明全等，从而得到∠A=∠C；问题（2）中的全等条件有AB=CD，∠ABD=∠CDB，DB=BD，可用“SAS”证明全等，从而∠ADB=∠CBD，得到AD∥BC；问题（3）中的全等条件有∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，DB=BD，可用“ASA”证明全等，从而得到AB=CD；……