2016年四川高考圆锥曲线题的推广与证明

叶蓉

一、考题重现

（2016四川卷）已知椭圆E：=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|=λ |PA|·|PB|，并求λ的值.

二、结论一般化

设想此题的第（II）问能否推广为一般的结论，笔者利用几何画板经过探究得到如下命题：

命题1：已知椭圆E：1（a>b>0），直线l与椭圆E相切于点T（m，n），直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.则存在常数λ=，使得