反思错因　提前干预　精讲巧练——小学数学错题研究和应用的三部曲

浙江新昌县城西小学（312500）　王小荷

反思错因提前干预精讲巧练——小学数学错题研究和应用的三部曲

浙江新昌县城西小学（312500）王小荷

对学生数学作业中出现的错误进行深度剖析，发现除了学生个别的因素之外，教师对内容的理解和教学方法的选择是影响学生出现错误的主要原因。在理解数学课程特点和要求及剖析学生错误原因的基础上，教师不断改进教学方法、优化习题设计，能够有效减少学生的错误，提高学生的数学思维水平。

小学数学错误干预精讲剖析动态生成

根据《小学数学错题资源库的建设与应用》的课题设计，我校组织了五年级上册期初错题摸底检测，下面我就对我校四位教师任教的四个不同班级学生的错例进行分类统计。在统计中，我发现学生的共同错误也存在着不少差异，因为我对这四位教师的方程教学做过一些研究，所以特别留意方程教学的后继问题，以下是反映方程教学中学生两道错题的统计情况。

差异一（见表1）：

这是整份摸底试题中错误率最高的一道题：“爸爸体重A千克，比小东体重的3倍少15千克，小东的体重是（ ）千克。”

表1　

这是一道错误率较高的题，但对乙教师任教的班级学生来说却不存在困难，错误率远远低于全体学生样本的错误率。

差异二（见表2）：

在解方程3×6+2x=40中，我校四位教师任教的班级学生的错误也存在较大的差异性。

表2　

出现这些差异的原因是什么？这种差异对我们的数学教学有何启示？面对问题，我陷入了深深的思考之中。

一、不同的教学方法，学生出现不同的错误

我对方程教学进行了研究，在研究中发现：不同的教学方法，学生有着不同的错误。

教学解方程前，我曾经进行过前测，发现学生对于解类似15-○=13、1.5÷▼=0.3的算式不存在问题，几个班级学生的正确率均达到95%以上，甚至解如2.5÷x= 10、10-x=8.3这样的方程，学生的正确率也达到90%以上，各个班级学生的差异较小。检测后，我们都各自按照自己的习惯和方式进行教学。

甲教师和丁教师同时呈现两种解方程的不同方法，然后让学生自己选择方法解题，据他们反映，学生喜欢用四则运算的意义解方程，利用等式性质解方程因书写麻烦而被学生舍去。

乙教师有三十多年的教龄，教学经验丰富，工作很负责，且做事严谨，重视利用四则运算的意义解方程。她的课训练强度较大，对于用等式性质解方程属于任务式教学。

丙教师（我）在教学中强调用等式性质解方程，重视等式平衡原理的应用，在学生基本掌握等式性质解方程后，也进行用四则运算的意义解方程的教学（但现在回顾起来觉得练习度不够，对未知数在减数和除数位置上的方程干预太迟），同时把两者进行了有机的结合。如在解方程2x-20=4时，我做了以下这样的衔接。

2x-20+20=4+20（方程左右两边同时加上20，用来消去左边的“-20”，但是为了书写简便，我不要求学生写出“+20”，甚至前面的“-20”也可以省略）

2x=4+20（利用等式性质思考解题过程，同时通过观察，可以解释为“被减数=差+减数”）

x=24÷2（方程左右两边同时除以2，用来消去左边的“×2”，还可以解释为“因数=积÷另一个因数”）

这样练习两节课之后，我再让学生总结发现解方程的规律——移项规律。

方程教学后，我进行了一次后测，发现学生的错误明显地烙上了教师教的痕迹，即12÷x=0.4、31.4-x=2.08这类题的错误率，我班学生要稍高于其他班级。这是因为我在教学解方程的第一课时没有注意去消除学生的错误，而当时课堂作业本中却出现了类似12÷x=0.4的方程，学生因为平衡原理的惯性影响，在解题时出现了不少错误。但是类似ax+（-）b=c的稍复杂的方程，我所教的班级学生错误很少，特别是3.4x-9.8=1.4x+9这类题，我班学生的错误率要远远低于其他班级，如我班学生的错误率是9.3%，另一个班级学生的错误率是40%。同样，在期初摸底检测中有解方程3×6+2x=40一题，我班没有一个学生出现错误，正确率居然达到了100%。在去年期末检测中，我班学生解方程的错误率只有4.7%，也明显低于其他班级。这是因为利用等式性质解方程避免了学生死记硬背，给学生带来方便，尤其是解复杂的方程更显示出优越性。例如，盈亏问题中所列的方程，我班学生基本能解出来，而另外班级的学生在解题时明显失去了方向，因而也产生了许多错误。

正因为每个教师对方程教学的侧重点不同，使学生出现不同的错误。看来，“不同的教学方法导致学生出现不同的错误”是一个不争的事实。

二、学生的错误，可以在有效的干预中减少

学生的错误既然和我们的教学有关，那么我们就要想办法进行有效干预，让错误消失在萌芽状态。根据《小学数学错题资源库的建设与应用》的研究计划，我们对学生解题错误进行了预设，这其实是干预工作的前奏。只有充分了解学生的认知水平，了解各知识的特点，我们才能开展干预工作。以下是错误预设、错因分析和提前干预的一个典型案例。

在括号里填上合适的单位名称：一只货运集装箱的体积大约是70（ ）。

我所教的（2）班，62位学生中居然有40位学生填了“立方分米”，错误率达到63.3%。后来我调查这些学生，发现五分之三的学生知道立方米的意义，但不知道什么是集装箱、集装箱是干什么的；有近五分之一的学生能比划出1立方米的大小，但没有真正明白立方米的意义，故而填上了立方分米；其他学生则完全没有考虑，不假思索就填上了立方分米。从这些分析可以看出，学生生活经验的不足是导致错误产生的主要原因。换言之，为学生提供足够的感性材料，可以减少学生错误的发生。

（2）班教学的失败，让我立即对（1）班的教学进行重新思考。教学中，我特别重视感性材料的运用。

1.认识1立方厘米

师（拿出1立方厘米的正方体学具）：同学们，这小立方体所占的空间就是1立方厘米，请量一量它们的棱长，发现了什么？

生1：正方体的棱长是1厘米。

生2：棱长是1厘米的正方体体积是1立方厘米。

师：生活中哪些物体的体积接近1立方厘米？

生3：骰子。

生4：我手中用剩的橡皮也接近1立方厘米。

……

师：哪些物体的体积用立方厘米作单位比较合适呢？（学生立即从文具里找出物品，一只只小手举得高高的）

生5：橡皮接近10立方厘米。

生6：讲台上的墨水瓶盒子接近100立方厘米。

生7：我的自动笔接近7立方厘米。

……

2.认识1立方分米

师：如果老师想知道你们抽屉所占的空间有多大，用1立方厘米为标准去估量，可以吗？

生：太麻烦了。

师：用哪一个学具比较简便些呢？（学生自然知道是1立方分米的正方体）

师：这是一个棱长为1分米的正方体，它的体积是1立方分米。同学们，能否用1立方分米为标准去估量抽屉有多大？（得出抽屉大约是15立方分米，老师的讲台大约是800多立方分米）

师：家里哪些物体的体积也适合用立方分米作单位？

生：微波炉、热水瓶、洗衣机、电视机的体积都可以用立方分米作单位。

3.认识1立方米

（师径直走向前门，在角落处量出棱长是1米的正方体空间，让学生站入里面看看可以容纳几个人，学生一数共有9位，然后让学生估一估教室大约有多少立方米）

师：生活中还有哪些物体的体积用立方米作单位比较合适？

生：房子的空间，车厢的空间，仓库的空间……

师：那么，集装箱的体积用什么作单位呢？

……

平时（1）班学生不管是学习能力，还是基础知识都明显落后于（2）班学生，两个班平时考试的平均分相差5～8分左右，但本题（1）班的错误率只有9.3%，且发生错误的五位学生都是学困生，明显低于（2）班63.3%的错误率。其实，两个班的教学方法基本相同，只是利用感性材料的程度不同，即让（1）班学生有充分的时间寻找感性材料，特别是大体积的物体。居然这么一点干预，就产生了如此之大的差异。

后来，我发现教材练习中也有这么一道题，但它是以图片的方式呈现，结果我发现（1）班学生的正确率还是高于（2）班。虽然我对（2）班已经在课后重新扩充感性材料，但毕竟是后补的教学，没有获得像（1）班那样浑然一体的课堂效果。所以说，最有效的课堂学习是最成功的！等学生发生错误，再去弥补就费力了。这又让我明白了学生的错误是可以进行有效干预的，最理想的干预是让学生的错误消失在萌芽状态。

三、有效干预的关键，在于教师的精讲

学生的错误是不可避免的。面对学生的错误，教师不仅习惯从学生中找原因，如学生的认知能力低下、学习品质不良等，还习惯从教材中找原因，如教材与练习不配套、知识板块编排不合理等，就是不愿承认自身的教学缺陷。其实，教学一线的教师心里都亮堂着：一堂准备充分的课，带给学生的是高效率的学习！

许多错误确实来自学生本身，如有的是因为审题欠仔细出错；有的是因为书写习惯不好出错；有的是因为认知水平偏下，无法建构新的知识系统，导致没有掌握新知识，更不会解决问题……虽然教材也是导致学生出错的一个原因，但正如叶圣陶先生所说的那样“教材无非是一个例子，是一个方向，是一个学习方案，是一种思维方法”。将文本中通用的课程转化为课堂上具体鲜活的课程，需要教师对教材进行必要的加工和重组，才能变为学生快乐学习的材料。从这个角度来说，这里的关键还是教师本身。

一句话，不管是学生自身的因素，还是教材的因素，教师是决定因素。在学生把教材知识内化为自己的知识经验中，教师担负着桥梁作用，因为教师的引领关系到学生能否真正形成新的知识系统，关系到他们是否能建立起新旧知识的连接点，所以对学生错误进行有效干预的关键在于教师。教师能否让自己的精讲与学生的巧练有机结合，促进学生对知识的有效建构呢？课堂教学中，教师的精讲有以下几个途径。

1.从课程的角度把握教材

教师要认真研究教材，对整个小学数学知识体系做到心中有数，特别是要熟悉各知识间的纵向联系和横向联系，为创造性地使用教材提供方向。

2.从学习的角度明确教学重、难点和学生易错点

教师应吃透每一节课的内容，分析课中的教学重点和难点，不仅要把本节课的作业亲自演练一次，预设学生可能发生的错误，而且要把这些错误提前进行分解，让这些知识难点在课堂上得到有效突破。这样可为学生搭建起一座新旧知识沟通的桥梁，让学生的错误消失在萌芽状态。

3.从动态生成的角度及时干预

在课堂教学过程中，教师要善于捕捉信息，抓住学生即时生成的典型错题，及时干预、补救，让错题成为宝贵的教学资源。

4.从认知强化的角度设计练习

教师要依据认知的心理规律和学生的实际情况设计练习，达到“解一题，带一串，学一块”的效果，使学生在练习中感悟解题方法，掌握基本技能，提高解决问题的能力。

5.从教学反思的角度剖析学生的错误

教师对学生产生的错误要及时分析，研究对策，把握各类题训练的实质。同时，教师要善于积累学生的典型错例，每节课后做好随堂错例的记录，为下一次的干预提供材料。

当然，教师的精讲固然重要，但也离不开学生的巧练。这里的巧练，不是指简单机械的重复训练，而是指教师根据学生错例精心设计的题组训练，让学生不断深入领悟这些知识的内涵。例如，对“爸爸体重A千克，比小东体重的3倍少15千克，小东的体重是（ ）千克”一题的解答，我校乙教师任教班级的43位学生中只有7位学生出现错误，究其原因，是乙教师对这道题进行了多方面的练习。我自己虽然也对这道题进行了精讲，但是因为练习度不够，学生的正确率不高。在五年级期初摸底检测中，我发现以前教学时学生错误率较高的题目，在检测中却已经不存在问题了，错误率都基本降低到10%以下，这说明有效练习是减少学生错误的必要手段。

通过实践，我觉得巧练要抓好以下几个环节。

第一，加强审题训练。

学生很大一部分作业错误来自于审题不仔细，所以加强学生的审题训练是减少学生错误的一个有效办法。特别是在应用性练习中，因为条件繁多，学生往往容易疏忽其中的条件，从而导致解答出错。课堂教学中，我要求学生至少读两次题目，第一次读，读清里面的故事情节，即条件和问题；第二次读，读出题目的信息（隐含的信息）告诉了我们什么，然后回顾题目，在头脑中构建出此类题目的解法，如说出解题方案，先解决什么，再解决什么。

第二，精心设计题组练习。

从巩固新知的基本练习，到突破教学重、难点的应用练习（主要是学生的易错题，所以要环绕着教学重、难点来设计），再到发展学生能力的拓展练习，一环扣一环，让学生通过练习熟练掌握新知，同时感悟到学习这些知识的必要性。因为一节课的时间有限，所以一般分两节课完成这样的练习任务。

练习题的设计应遵循艾滨浩斯的遗忘规律，运用“先多后少，先快后慢”的策略，让学生逐渐巩固所学知识。如一节新课学习后跟着上一节练习课，学完下一知识点后连带复习上节课的有关知识，再在单元练习中进行巩固，这样学生基本上能正确掌握这一知识内容了。有关练习强度我也曾经做过研究，发现一个新的知识点对于学生来说，需要练习到一定的量，才能产生从量变到质变的转化。这个量需要根据学生的实际情况而定，但是对于一般学生来说，不少于6～8题。

第三，培养学生良好的作业习惯。

学生作业中常出现抄错、看错等现象，还有因为书写版面凌乱，造成解答混乱等问题，所以我要求学生作业书写整齐的同时，注重书写版面的设计，做完作业必须检查一次后再上交。

总之，学生是千差万别的，学生错例研究的道路也是漫长而曲折的。在林林总总的学生错题里，我们教师还要去求索，哪怕是“衣带渐宽人憔悴”。我相信总会有“蓦然回首，却在灯火阑珊处”的顿悟，也期待课题研究成功给我们带来“丛中笑”的那份喜悦。

（责编杜华）

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1007-9068（2016）29-023