在建模中感悟数学思想

陈幼玲

教师在课堂教学过程中要努力引导学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。“常见的数量关系”是苏教版四下中新增加的教学内容。学生学习时，要能在具体情境中了解常见的数量关系，并学会用所学数量关系解决简单的实际问题。现以“常见的数量关系”教学为例，阐述如何引导学生在建模过程中感悟数学思想。

一、在模型准备中初步感知模型思想

提出问题是数学建模的起点，有了明确问题，学生建模才能有的放矢。模型准备时，教师要根据实际问题的特征和建模目的，呈现贴近学生生活实际的学习素材，尽量做到形象具体，并引导学生对问题情境进行必要简化，有效引导学生从实际背景中抽象出数学问题，甚至对问题作出必要和合理的猜想与假设，使学生能从熟悉的或已具备的生活经验和知识经验入手，为学生顺利构建数学模型奠定基础。

教学时，教师先出示教学挂图，引导学生分析图中的信息。学生很快从图中发现每支钢笔12元，每本练习本3元；要买4支钢笔和5本练习本。根据图中的信息填写表格（表1）后，教师要求学生观察表格中第一列的信息并说出它们的相同点，从而认识单价就是每个物品的价钱。当学生联系生活举例说出一些商品的单价（如包子的单价是每个2元，一瓶绿茶的单价是每瓶3元）时，教师引导学生自主读、写出来（2元/个，读作2元每个，表示每个包子2元；3元/瓶，读作3元每瓶，表示每瓶绿茶3元）；当学生了解表格中第二列信息表示商品数量、第三列信息表示商品总价（购买某种商品一共要用的钱）时，教师引导学生分别算出两种商品各自的总价。学生为解决实际问题而认识单价、数量和总价三种数量，并在解决问题的过程中自然地产生数学问题——这三种量之间有没有什么关系？如果有关系，有什么关系？甚至有些思维活跃的学生就会在大脑中出现这样的猜想或假设——这里的单价和数量相乘后是不是等于总价？这样，学生就能在计算总价的过程中为顺利构建数学模型做好充分准备，同时从中初步感悟数学模型思想。

二、在模型的建立中充分感悟模型思想

模型建立的过程，往往是学生进行观察、分析、抽象和概括的活动过程。在这个过程中，学生会使用文字或者其他数学符号尝试表示数量关系或变化规律。换句话说，小学生的数学建模过程就是尝试把生活情境“数学化”的过程，就是他们在数学学习过程中尝试获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。这个过程可以在教师的适当引领下完成，也可以在学生的自主探究中完成。

研究单价、数量和总价这三种量之间的关系时，教师引导学生先仔细观察表格，再思考两种文具的总价各自是怎样计算的，并尝试用式子表示出来。学生通过想一想、说一说和写一写后，发现每种文具的总价都是用表中的第一个信息与第二个信息相乘的结果，即“总价=单价×数量”，并由此及彼地发现“数量=总价÷单价”和“单价=总价÷数量”，从而明白只要知道三种量中的两种量，就能根据数量关系求出第三个量。探究速度、时间和路程三者之间的关系时，教师先出示一组信息：一列和谐号列车每小时行260千米，李冬骑自行车每分行200米。自主阅读后，学生发现它们分别表示1时或1分（单位时间）内所行的路程，从而认识了速度。学生再联系生活说一些常见的速度例子（如兔子每秒跑6米，小明每秒跑5米）后，学会读写速度（6米/秒，读作6米每秒，表示兔子每秒跑6米；300米/分，读作300米每分，表示小明每分行300米）、计算各自所行的路程，并填写表格（表2），并在小组交流中发现路程都可以用“路程=速度×时间”表示，进而触类旁通地联想到“速度=路程÷时间”和“时间=路程÷速度”这两个数量关系。最后，教师引导学生分组尝试用线段图表示这两题的条件和问题，并讨论线段图的相同点，从中发现图中每段表示一份，3段便是3份，问题都是求总数，从而沟通了两个数量之间的联系，构建统一的数学模型——每份数×份数=总数。

史宁中教授认为：“数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系。”事实上，如果我们从建模角度看这两组数量关系，它们都属于“乘法模型”，也就是“每份数×数量=总数”关系的具体化。它们中的第一个数量关系是学生在教师引导下的建构，第二个数量关系是学生的自主建构，扶放结合，最终形成统一的数学模型。学生在经历建模的过程中对数学模型思想的感悟越来越充分。

三、在模型应用中灵活感悟模型思想

对小学生而言，他们进行建模的目的之一就是根据模型解决实际问题，并尝试用结果去解释它在现实问题中的意义，也就是模型应用。所谓模型应用，就是学生建构数学模型后尝试把数学模型还原为具体可感知的数学现实，从而巩固甚至灵活应用所建构的数学模型。但在应用模型解决实际问题的过程中，教师首先要引导学生理解数学模型的含义，并将模型解答与现实问题之间进行对照检验，并根据检验结果对解答进行完善和优化。这对学生灵活感悟模型思想能起到画龙点睛的作用。

应用模型时，教师首先出示一组基本题让学生简单应用：（1）一种自动铅笔的售价为4元/支，买3支多少钱？（2）小明从家步行到公交车站要3分钟，如果他步行速度为60米/分，那么，他家到公交站台有多少米？学生分析已知条件和要求的问题，思考用什么数量关系列式计算后，教师引导学生思考：（3）狮子奔跑的速度是16米/秒，求它2秒、4秒、10秒和30秒跑的路程各是多少？（4）李老师用840元买运动服，买2套、4套、8套和10套服装时的单价各是多少元？学生边填边想数量关系式及自己的发现。最后，教师出示课本中的一组习题：（5）李师傅每小时加工24个零件，8小时加工多少个？（6）李师傅每小时加工24个零件，加工192个零件用多少小时？（7）李师傅8小时加工192个零件，平均每小时加工多少个零件？引导学生应用所建构的数学模型解决简单的实际问题，这有助于学生巩固所建构的数学模型；向学生渗透“工作总量=工作时间×工作效率”的数量关系的过程就是帮助学生拓展模型的过程，有助于学生了解相似数量关系在数学学习中有很多，需要自己及时总结、举一反三，才能达到灵活应用数学模型的目的，才能更好地解决问题。

（作者单位：福建省古田县第二小学）