初中数学复习教学的三个层次

☉江苏泰州市高港区教师发展中心　蒋　飞

初中数学复习教学的三个层次

☉江苏泰州市高港区教师发展中心蒋飞

众所周知，数学复习教学是知识整合性较高的一种教学，相比新知教学而言，其往往要瞻前顾后；相比公开课教学而言，其往往需要更为高效；相比探究性教学而言，其往往更注重知识的总结和记忆.今年六月陕西师大在本省举办的解题教学高级研讨活动中，罗增儒教授对于初中数学复习教学提出了三个方面的建议.

第一，概念为本，扎实双基.从复习教学的第一层次来说，这是任何教学需要解决的基本问题.我们发现，不少初中学生在复习阶段还无法清楚地理解基本概念、掌握基本问题解决的技能，这是非常令人焦急的.可以这么说，双基层面的复习是任何数学活动进步的前提，随着学生进入更高级别的学习，数学形式化的程度也相应增加，只有解决基本层面的知识才能进一步解决后续的问题，因此重视概念、重视双基是复习的第一层次.

第二，关注交汇、注重整合.随着知识学习程度的加深，我们知道区分学生数学问题解决能力的试题都是考查多种知识的交汇，所以提高学生在知识交汇处解决问题的能力，是复习教学的第二层次.

第三，强调模型、渗透思想.初中学生在原创问题上的解决能力还有待进一步提高，其实很多数学问题都依旧具备一定的数学模型，用高等数学的观点来说即模式识别，在复习教学中加强模式的识别，渗透数学思想方法，这对于学生站在更高的角度、系统地看待数学问题大有帮助.笔者认为罗教授的一席话，深刻地点出了复习教学如何呈现螺旋式上升的方法，现结合教学实践简单分析一二.

一、概念为本，扎实双基

复习教学中，概念的复习有两种方式.其一是系统整理（群概念复习），以约瑟夫·D·诺瓦克的概念图最为有效.在复习教学中，结合概念图将概念的来龙去脉、层级递进展示得一清二楚.笔者发现，少数学生对于数的基本概念：实数—有理数和无理数—正数和分数—整数和分数等之间的层级关系比较模糊，可在学习过程中引导学生回顾概念，更从亲自绘制概念图的角度复习回顾，掌握数的基本概念.从几何图形角度来说，不少女生对于基本图形之间的从属关系有些模棱两可，笔者从结合图形特征的角度出发，将特征与概念图结合，从从一般到特殊的角度掌握图形概念.

图1

说明：从上述两种不同的概念图复习角度出发，我们发现数的基本概念采用了从特殊到一般的复习视角，而几何图形概念复习视角却恰恰是从一般到特殊的角度至少做如何复习，关键是抓住了各自概念的不同特征入手.利用概念图是复习群概念比较有效的一种手段.

其二，概念教学的复习结合数学问题实施.诸如问题：将三角形中余弦的倒数称之为正割，则30°的正割值为多少？这是典型的双基知识结合问题背景考查.我们知道三角函数是以角度为自变量的函数，余弦值恰为邻边除以斜边的值，因此正割恰为斜边除以邻边，因此本题的答案显而易见.这样的概念结合问题背景的考查，主要以基本问题的形态出现在应试中，加强概念的关注是解决复习第一层次的关键.

二、关注交汇，注重整合

知识的单一考查是无法区分学生的综合问题解决能力的，因此复习教学要提供整合性要求更高的问题，从这些问题中加强复习教学知识的联系性，引导学生自身关注知识整合性，从多元知识的角度驾驭复习教学，迅速提高复习教学的有效性.

问题1：已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y= ax2-（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）.

（1）求此二次函数和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中二次函数于点Q，求线段PQ长度的最大值；

（3）记（1）中二次函数的顶点为M，点N在此二次函数上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.

分析：本题复习教学的知识，注重三个方面.第一是图形的绘制能力，本题并未提供问题图形，首先考查学生图形绘制的能力；第二考查学生的基本运算能力；第三是在函数中使用平面几何的基本知识，体现知识交汇处命题的意图.

解析：（1）由题意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以二次函数的解析式为y=x2-2x，直线的解析式为y=2x.

（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2-2t），则PQ=2t-（t2-2t）=4t-t2=-（t-2）2+4，因此当t=2时，PQ的长度取得最大值4.

图2

说明：本题结合了多种知识的交汇，将问题图形化是首先需要解决的，进而将基本运算及梯形面积求解方式转化，这都体现了教师在复习教学中如何引导学生注重这些知识的整合使用，从一定的复习时间上来说，学生对于知识整合的考查将会随着整合性问题复习的增多而熟练.

三、强调模型，渗透思想

二次函数是中学数学最基本的函数模型，对于这一函数模型的基本处理方式，离不开三个模式特征：其一是与二次方程相关的判别式，其二是与平面几何图形结合，其三是与面积相关的三角形研究，这是中考最基本的模型及演变.这一过程中再进行恰当的思想方法的渗透，必定可以提高学生复习的视野和教学的效率.

问题2：设二次函数方程为y=-x2+（m-2）x+3（m+1）.

（1）判断：二次函数与x轴的交点个数，并说明理由；

（2）记二次函数交y轴于点C，当二次函数交x轴于两个不同点A、B（不妨设B在A的右侧）时，若∠CAB或∠CBA中存在其中一个角为钝角，则m的取值范围是多少？

（3）记二次函数的顶点为P，在（2）求得的m条件下，若△PAO与△ABC的面积相等，求该二次函数的表达式.

分析：（1）对于二次函数与x轴的交点个数，学生易知利用判别式进行判断；（2）利用数形结合思想，可以对钝角三角形的情形进行判断；（3）恰当引入分类的原因，x轴两交点的位置不能唯一确定，因此以两交点的位置进行两种不同情形的分类，指导学生正确辨别是解决本题的关键.

解析：（1）Δ=（m-2）2-4×（-1）×3（m+1）=（m+4）2≥0.当m=-4时，Δ=0，二次函数与x轴有且仅有一个交点；当m≠-4时，Δ＞0，二次函数与x轴有两个交点.

（2）令y=-x2+（m-2）x+3（m+1）=0，得到：x1=m+1，x2= -3，利用数形结合可知m＜-1且m≠-4.

说明：本题可谓中考压轴试题的基本模型，其中结合数学思想方法的渗透：分类讨论和数形结合.在复习教学中若能让学生清晰理解、合理、找到分类的切入点，考虑到A、B两个不同位置的存在性，可使得学生对这一综合性问题的解决水到渠成.

笔者认为，加强概念图的整理归纳、知识综合性整合的使用尝试、模型的掌控和思想方法的渗透都大大提升了复习教学的有效性.从复习教学的有效性来说，笔者结合罗教授的理论给出了自身结合案例教学的一些思考，限于篇幅未能就学生问题解决视角、复习学案等很多方面进行一一展开述说，恳请读者批评和指正.

1.王新.“数学思想方法研究综述”［J］.中学数学教学参考（中），2011（10）.

2.王怀梁.在“数学活动”中“做”数学［J］.中学数学（下），2012（4）.

3.李晓云.概念教学中的“动场”建构刍议［J］.中国数学教育，2013（7）.

4.刘明对.全日制义务教育数学课程标准实验过程中存在问题的思考［J］.数学通报，2011（5）.Z